ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 705 Алимов — Подробные Ответы

Найти наименьший положительный период функции (705—706).

1. у = cos 2x/5;
2. у = sin 3x/2
3. у= tgx/2;
4. y = |sinx|.

$y = \cos \frac{2}{5} x$;
$y(x + T) = y(x)$;
$\cos \left( \frac{2}{5} (x + T) \right) = \cos \frac{2}{5} x$;
$\cos \left( \frac{2}{5} x + \frac{2}{5} T \right) = \cos \frac{2}{5} x$;
$\frac{2}{5} T = 2\pi$;
$T = 2\pi \cdot \frac{5}{2} = 5\pi$;
Ответ: $5\pi$.

$y = \sin \frac{3}{2} x$;
$y(x + T) = y(x)$;
$\sin \left( \frac{3}{2} (x + T) \right) = \sin \frac{3}{2} x$;
$\sin \left( \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} T \right) = \sin \frac{3}{2} x$;
$\frac{3}{2} T = 2\pi$;
$T = 2\pi \cdot \frac{2}{3} = \frac{4\pi}{3}$;
Ответ: $\frac{4\pi}{3}$.

$y = \tan \frac{x}{2}$;
$y(x + T) = y(x)$;
$\tan \left( \frac{1}{2} (x + T) \right) = \tan \frac{x}{2}$;
$\tan \left( \frac{x}{2} + \frac{1}{2} T \right) = \tan \frac{x}{2}$;
$\frac{1}{2} T = \pi$;
$T = 2\pi$;
Ответ: $2\pi$.

4) $y = |\sin x|$;
$y(x + T) = y(x)$;
$|\sin (x + T)| = |\sin x|$;

Первое уравнение:
$\sin (x + T) = -\sin x$;
$\sin (T + x) = \sin (\pi + x)$;
$T = \pi$;

Второе уравнение:
$\sin (x + T) = \sin x$;
$T = 2\pi$;

Ответ: $\pi$.

Задача 1: $y = \cos \frac{2}{5} x$

Цель: Найти период $T$ функции $y$, то есть найти минимальное $T > 0$, при котором

$$y(x + T) = y(x)$$

Шаг 1: Запишем условие периодичности:

$$\cos \left( \frac{2}{5} (x + T) \right) = \cos \frac{2}{5} x$$

Шаг 2: Свойство косинуса:

$$\cos (A + B) = \cos A \quad \Longrightarrow \quad B = 2\pi n \quad (n \in \mathbb{Z})$$

Для любых $x$, равенство будет верно, если

$$\frac{2}{5} T = 2\pi n$$

Шаг 3: Для минимального положительного периода берём $n=1$:

$$\frac{2}{5} T = 2\pi \quad \Rightarrow \quad T = \frac{2\pi \cdot 5}{2} = 5\pi$$

Ответ: период $T = 5\pi$.

Задача 2: $y = \sin \frac{3}{2} x$

Шаг 1: Записываем условие периодичности:

$$\sin \left( \frac{3}{2} (x + T) \right) = \sin \frac{3}{2} x$$

Шаг 2: Свойство синуса:

$$\sin (A + B) = \sin A \quad \Longrightarrow \quad B = 2\pi n$$

Шаг 3: Значит,

$$\frac{3}{2} T = 2\pi n$$

Берём минимальный $n=1$:

$$T = \frac{2\pi \cdot 2}{3} = \frac{4\pi}{3}$$

Ответ: период $T = \frac{4\pi}{3}$.

Задача 3: $y = \tan \frac{x}{2}$

Шаг 1: Записываем периодичность:

$$\tan \left( \frac{1}{2} (x + T) \right) = \tan \frac{x}{2}$$

Шаг 2: Свойство тангенса:

$$\tan (A + \pi) = \tan A$$

Шаг 3: Значит,

$$\frac{1}{2} T = \pi n$$

Берём $n=1$:

$$T = 2\pi$$

Ответ: период $T = 2\pi$.

Задача 4: $y = |\sin x|$

Шаг 1: Условие периодичности:

$$|\sin (x + T)| = |\sin x|$$

Шаг 2: Абсолютное значение синуса одинаково, если

$$\sin (x + T) = \sin x$$

или

$$\sin (x + T) = -\sin x$$

Первое уравнение:

$$\sin (x + T) = \sin x \implies T = 2\pi n$$

Второе уравнение:

$$\sin (x + T) = -\sin x \implies \sin (x + T) = \sin (\pi — x)$$

Тогда

$$x + T = \pi — x + 2\pi n \implies T = \pi + 2\pi n$$

Минимальный положительный период:

Из двух вариантов:

• $T = 2\pi$ для первого уравнения,
• $T = \pi$ для второго уравнения,

минимальным периодом функции $y = |\sin x|$ является $T = \pi$.

Ответ: период $T = \pi$.