ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 703 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что функция у = f(x) периодом Т, если:

1. у = sin 2х, Т = пи;
2. у = cos x/2, Т = 4пи;
3. y = tg 2х, Т = пи/2;
4. y=sin 4x/5, T=5пи/2.

1. $y = \sin 2x$ и $T = \pi$;
   $y(x + \pi) = \sin(2 \cdot (x + \pi)) = \sin(2x + 2\pi) = \sin 2x = y(x);$
2. $y = \cos \frac{x}{2}$ и $T = 4\pi$;
   $y(x + 4\pi) = \cos \frac{x + 4\pi}{2} = \cos \left( \frac{x}{2} + 2\pi \right) = \cos \frac{x}{2} = y(x);$
3. $y = \operatorname{tg} 2x$ и $T = \frac{\pi}{2}$;
   $y \left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \operatorname{tg} \left( 2 \cdot \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \right) = \operatorname{tg} \left( 2x + \pi \right) = \operatorname{tg} 2x = y(x);$
4. $y = \sin \frac{4x}{5}$ и $T = \frac{5\pi}{2}$;
   $y \left( x + \frac{5\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{4}{5} \cdot \left( x + \frac{5\pi}{2} \right) \right) = \sin \left( \frac{4x}{5} + 2\pi \right) = \sin \frac{4x}{5} = y(x);$

Обозначение: функция $y(x)$ периодична с периодом $T$, если для всех $x$:

$$y(x + T) = y(x)$$

1) $y = \sin 2x$

Шаг 1: Определим период функции $\sin kx$:

Функция $\sin kx$ имеет период

$$T = \frac{2\pi}{|k|}$$

Шаг 2: Для $k=2$:

$$T = \frac{2\pi}{2} = \pi$$

Шаг 3: Проверим периодичность:

$$y(x + \pi) = \sin 2(x + \pi) = \sin (2x + 2\pi) = \sin 2x = y(x)$$

Так как $\sin$ — периодическая функция с периодом $2\pi$, прибавление $2\pi$ к аргументу не меняет значение.

Вывод: период функции $y = \sin 2x$ равен $\pi$.

2) $y = \cos \frac{x}{2}$

Шаг 1: Здесь $k = \frac{1}{2}$, значит

$$T = \frac{2\pi}{|k|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{2}} = 4\pi$$

Шаг 2: Проверяем:

$$y(x + 4\pi) = \cos \frac{x + 4\pi}{2} = \cos \left( \frac{x}{2} + 2\pi \right) = \cos \frac{x}{2} = y(x)$$

Поскольку косинус периодичен с периодом $2\pi$, прибавление $2\pi$ к аргументу не изменит значение.

Вывод: период функции $y = \cos \frac{x}{2}$ равен $4\pi$.

3) $y = \operatorname{tg} 2x$

Шаг 1: Период тангенса с аргументом $kx$ равен

$$T = \frac{\pi}{|k|}$$

Шаг 2: Для $k=2$:

$$T = \frac{\pi}{2}$$

Шаг 3: Проверяем:

$$y\left( x + \frac{\pi}{2} \right) = \operatorname{tg} \left( 2 \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \right) = \operatorname{tg} (2x + \pi) = \operatorname{tg} 2x = y(x)$$

Так как $\operatorname{tg}(\theta + \pi) = \operatorname{tg} \theta$.

Вывод: период функции $y = \operatorname{tg} 2x$ равен $\frac{\pi}{2}$.

4) $y = \sin \frac{4x}{5}$

Шаг 1: Здесь $k = \frac{4}{5}$, период равен

$$T = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\frac{4}{5}} = 2\pi \cdot \frac{5}{4} = \frac{5\pi}{2}$$

Шаг 2: Проверяем:

$$y\left( x + \frac{5\pi}{2} \right) = \sin \left( \frac{4}{5} \left( x + \frac{5\pi}{2} \right) \right) = \sin \left( \frac{4x}{5} + 2\pi \right) = \sin \frac{4x}{5} = y(x)$$

Период $\sin$ равен $2\pi$, поэтому прибавление $2\pi$ в аргументе не меняет функцию.

Вывод: период функции $y = \sin \frac{4x}{5}$ равен $\frac{5\pi}{2}$.