ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 699 Алимов — Подробные Ответы

Найти множество значений функции у = 10 cos2 х — 6 sin х cos х + 2 sin2 х.

$y=10{\cos }^{2}x-6\sin x\cdot \cos x+2{\sin }^{2}x;$

$y=10{\cos }^{2}x-3\sin 2x+2{\sin }^{2}x-6+6;$

$y=10{\cos }^{2}x-3\sin 2x+2{\sin }^{2}x-6{\cos }^{2}x-6{\sin }^{2}x+6;$

$y=4({\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x)-3\sin 2x+6;$

$y=4\cos 2x-3\sin 2x+6;$

Докажем, что $\cos (\arcsin \frac{3}{5})=\frac{4}{5}$:

$$\cos (\arcsin \frac{3}{5})=\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin \frac{3}{5})}=\sqrt{1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{9}{25}}=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}\mathrm{.}$$

Упростим выражение:

$$y=5(\frac{4}{5}\cos 2x-\frac{3}{5}\sin 2x)+6;$$$$y=5(\cos (\arcsin \frac{3}{5})\cdot \cos 2x-\sin (\arcsin \frac{3}{5})\cdot \sin 2x)+6;$$$$y=5\cdot \cos (\arcsin \frac{3}{5}+2x)+6;$$$$y=5\cdot \cos \phi +6,\text{ где }\phi =\arcsin \frac{3}{5}+2x\mathrm{.}$$

Область значений функции:

$$-1\le \cos x\le 1;$$$$-5\le 5\cos x\le 5;$$$$1\le 5\cos x+6\le 11.$$

Ответ: $E(y)=[1;11]$.

Дана функция:

$$y=10{\cos }^{2}x-6\sin x\cdot \cos x+2{\sin }^{2}x$$

Шаг 1: Перепишем функцию в более удобном виде

Используем формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество:

• $\sin 2x=2\sin x\cos x$
• $\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x$
• ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

Перепишем с учётом этих формул.

$$y=10{\cos }^{2}x-6\sin x\cos x+2{\sin }^{2}x$$

Шаг 2: Выразим через $\sin 2x$ и $\cos 2x$

Разобьём члены, чтобы выразить через двойные углы.

• $-6\sin x\cos x=-3\cdot 2\sin x\cos x=-3\sin 2x$
• Выразим $10{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x$ через $\cos 2x$:

$${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2},{\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$

Тогда:

$$10{\cos }^{2}x+2{\sin }^{2}x=10\cdot \frac{1+\cos 2x}{2}+2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}=5(1+\cos 2x)+1(1-\cos 2x)=$$

$$=5+5\cos 2x+1-\cos 2x=6+4\cos 2x$$

Шаг 3: Подставим в исходное выражение $y$:

$$y=6+4\cos 2x-3\sin 2x$$

Шаг 4: Представим $y$ в виде одной тригонометрической функции с фазовым сдвигом

Функция:

$$y=4\cos 2x-3\sin 2x+6$$

Составим выражение:

$$4\cos 2x-3\sin 2x=R\cos (2x+\alpha )$$

Шаг 5: Найдём амплитуду $R$

$$R=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Шаг 6: Найдём угол $\alpha$

Угол $\alpha$ определяет фазовый сдвиг, и

$$\cos \alpha =\frac{4}{5},\sin \alpha =\frac{3}{5}$$

Шаг 7: Запишем функцию через $\cos$ сдвинутого аргумента

$$y=5\cos (2x+\alpha )+6$$

где

$$\alpha =\arccos \frac{4}{5}=\arcsin \frac{3}{5}$$

Шаг 8: Область значений функции

Косинус принимает значения в промежутке от $-1$ до $1$:

$$-1\le \cos (2x+\alpha )\le 1$$

Умножаем на амплитуду 5:

$$-5\le 5\cos (2x+\alpha )\le 5$$

Добавляем сдвиг +6:

$$-5+6\le y\le 5+6$$$$1\le y\le 11$$

Итог:

$$\boxed{{\displaystyle E(y)=[1;11]}}$$