ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 699 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Найти множество значений функции у = 10 cos2 х — 6 sin х cos х + 2 sin2 х.

Краткий ответ:

$y = 10 \cos^{2} x - 6 \sin x \cdot \cos x + 2 \sin^{2} x;$

$y = 10 \cos^{2} x - 3 \sin 2 x + 2 \sin^{2} x - 6 + 6;$

$y = 10 \cos^{2} x - 3 \sin 2 x + 2 \sin^{2} x - 6 \cos^{2} x - 6 \sin^{2} x + 6;$

$y = 4 (\cos^{2} x - \sin^{2} x) - 3 \sin 2 x + 6;$

$y = 4 \cos 2 x - 3 \sin 2 x + 6;$

Докажем, что $\cos (\arcsin \frac{3}{5}) = \frac{4}{5}$ :

$\cos (\arcsin \frac{3}{5}) = \sqrt{1 - \sin^{2} (\arcsin \frac{3}{5})} = \sqrt{1 - {(\frac{3}{5})}^{2}} = \sqrt{\frac{25}{25} - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} .$

Упростим выражение:

$y = 5 (\frac{4}{5} \cos 2 x - \frac{3}{5} \sin 2 x) + 6;$ $y = 5 (\cos (\arcsin \frac{3}{5}) \cdot \cos 2 x - \sin (\arcsin \frac{3}{5}) \cdot \sin 2 x) + 6;$ $y = 5 \cdot \cos (\arcsin \frac{3}{5} + 2 x) + 6;$ $y = 5 \cdot \cos φ + 6, где φ = \arcsin \frac{3}{5} + 2 x .$

Область значений функции:

$- 1 \leq \cos x \leq 1;$ $- 5 \leq 5 \cos x \leq 5;$ $1 \leq 5 \cos x + 6 \leq 11.$

Ответ: $E (y) = [1; 11]$ .

Подробный ответ:

Дана функция:

$y = 10 \cos^{2} x - 6 \sin x \cdot \cos x + 2 \sin^{2} x$

Шаг 1: Перепишем функцию в более удобном виде

Используем формулы двойного угла и основное тригонометрическое тождество:

$\sin 2 x = 2 \sin x \cos x$
$\cos 2 x = \cos^{2} x - \sin^{2} x$
$\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$

Перепишем с учётом этих формул.

$y = 10 \cos^{2} x - 6 \sin x \cos x + 2 \sin^{2} x$

Шаг 2: Выразим через $\sin 2 x$ и $\cos 2 x$

Разобьём члены, чтобы выразить через двойные углы.

$- 6 \sin x \cos x = - 3 \cdot 2 \sin x \cos x = - 3 \sin 2 x$
Выразим $10 \cos^{2} x + 2 \sin^{2} x$ через $\cos 2 x$ :

$\cos^{2} x = \frac{1 + \cos 2 x}{2}, \sin^{2} x = \frac{1 - \cos 2 x}{2}$

Тогда:

$10 \cos^{2} x + 2 \sin^{2} x = 10 \cdot \frac{1 + \cos 2 x}{2} + 2 \cdot \frac{1 - \cos 2 x}{2} = 5 (1 + \cos 2 x) + 1 (1 - \cos 2 x) =$

$= 5 + 5 \cos 2 x + 1 - \cos 2 x = 6 + 4 \cos 2 x$

Шаг 3: Подставим в исходное выражение $y$ :

$y = 6 + 4 \cos 2 x - 3 \sin 2 x$

Шаг 4: Представим $y$ в виде одной тригонометрической функции с фазовым сдвигом

Функция:

$y = 4 \cos 2 x - 3 \sin 2 x + 6$

Составим выражение:

$4 \cos 2 x - 3 \sin 2 x = R \cos (2 x + α)$

Шаг 5: Найдём амплитуду $R$

$R = \sqrt{4^{2} + (- 3)^{2}} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Шаг 6: Найдём угол $α$

Угол $α$ определяет фазовый сдвиг, и

$\cos α = \frac{4}{5}, \sin α = \frac{3}{5}$

Шаг 7: Запишем функцию через $\cos$ сдвинутого аргумента

$y = 5 \cos (2 x + α) + 6$

где

$α = \arccos \frac{4}{5} = \arcsin \frac{3}{5}$

Шаг 8: Область значений функции

Косинус принимает значения в промежутке от $- 1$ до $1$ :

$- 1 \leq \cos (2 x + α) \leq 1$

Умножаем на амплитуду 5:

$- 5 \leq 5 \cos (2 x + α) \leq 5$

Добавляем сдвиг +6:

$- 5 + 6 \leq y \leq 5 + 6$ $1 \leq y \leq 11$

Итог:

$E (y) = [1; 11]$

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра