ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 695 Алимов — Подробные Ответы

1. y=1/(2sin2x-sinx);
2. y=2/(cos2x-sin2x);
3. y=1/(sinx-sin3x);
4. y=1/(cos3x+cos).

$y = \frac{1}{2 \sin^2 x — \sin x}$;

Выражение имеет смысл при:

$$2 \sin^2 x — \sin x \neq 0;$$ $$\sin x \cdot (2 \sin x — 1) \neq 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \sin x — 1 \neq 0;$$ $$2 \sin x \neq 1;$$ $$\sin x \neq \frac{1}{2};$$ $$x \neq (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ:

$$x \neq \pi n; \quad x \neq (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

$y = \frac{2}{\cos^2 x — \sin^2 x}$;

Выражение имеет смысл при:

$$\cos^2 x — \sin^2 x \neq 0;$$ $$\cos 2x \neq 0;$$ $$2x \neq \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

$y = \frac{1}{\sin x — \sin 3x}$;

Выражение имеет смысл при:

$$\sin x — \sin 3x \neq 0;$$ $$2 \cdot \sin \frac{x — 3x}{2} \cdot \cos \frac{x + 3x}{2} \neq 0;$$ $$-2 \cdot \sin x \cdot \cos 2x \neq 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos 2x \neq 0;$$ $$2x \neq \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ:

$$x \neq \pi n; \quad x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

$y = \frac{1}{\cos^3 x + \cos x}$;

Выражение имеет смысл при:

$$\cos^3 x + \cos x \neq 0;$$ $$\cos x \cdot (\cos^2 x + 1) \neq 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos^2 x + 1 \neq 0;$$ $$\cos^2 x \neq -1 \quad \text{(при любом } x);$$

Ответ:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

1) $y = \frac{1}{2 \sin^2 x — \sin x}$

Шаг 1: Чтобы функция была определена, знаменатель не должен равняться нулю:

$$2 \sin^2 x — \sin x \neq 0$$

Шаг 2: Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x (2 \sin x — 1) \neq 0$$

Шаг 3: Произведение не равно нулю, если ни один из множителей не равен нулю:

• $\sin x \neq 0$
• $2 \sin x — 1 \neq 0 \implies \sin x \neq \frac{1}{2}$

Шаг 4: Решаем $\sin x = 0$:

$$\sin x = 0 \implies x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 5: Решаем $\sin x = \frac{1}{2}$:

Значения $\sin x = \frac{1}{2}$ достигаются в точках:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n \quad \text{и} \quad x = \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$

Шаг 6: Запишем общий вид решения для $\sin x = \frac{1}{2}$ через формулу:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Итог:

$$x \neq \pi n, \quad x \neq (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$$

2) $y = \frac{2}{\cos^2 x — \sin^2 x}$

Шаг 1: Знаменатель не должен равняться нулю:

$$\cos^2 x — \sin^2 x \neq 0$$

Шаг 2: Используем формулу косинуса двойного угла:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Тогда:

$$\cos 2x \neq 0$$

Шаг 3: Решаем $\cos 2x = 0$:

$$\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 4: Делим обе части на 2:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Итог:

$$x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

3) $y = \frac{1}{\sin x — \sin 3x}$

Шаг 1: Знаменатель не равен нулю:

$$\sin x — \sin 3x \neq 0$$

Шаг 2: Используем формулу разности синусов:

$$\sin a — \sin b = 2 \cos \frac{a + b}{2} \sin \frac{a — b}{2}$$

Применим с $a = x$, $b = 3x$:

$$\sin x — \sin 3x = 2 \cos \frac{x + 3x}{2} \sin \frac{x — 3x}{2} = 2 \cos 2x \cdot \sin (-x)$$

Шаг 3: Учитывая $\sin (-x) = -\sin x$:

$$2 \cos 2x \cdot (-\sin x) = -2 \sin x \cdot \cos 2x$$

Шаг 4: Произведение не равно нулю, значит:

• $\sin x \neq 0$
• $\cos 2x \neq 0$

Шаг 5: Решаем $\sin x = 0$:

$$x = \pi n$$

Шаг 6: Решаем $\cos 2x = 0$:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Итог:

$$x \neq \pi n, \quad x \neq \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

4) $y = \frac{1}{\cos^3 x + \cos x}$

Шаг 1: Знаменатель не должен равняться нулю:

$$\cos^3 x + \cos x \neq 0$$

Шаг 2: Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x (\cos^2 x + 1) \neq 0$$

Шаг 3: Произведение не равно нулю, если

• $\cos x \neq 0$
• $\cos^2 x + 1 \neq 0$

Шаг 4: Рассмотрим $\cos^2 x + 1$:

• Поскольку $\cos^2 x \geq 0$, то

$$\cos^2 x + 1 \geq 1 > 0$$

• Значит, $\cos^2 x + 1 \neq 0$ всегда.

Шаг 5: Значит, условие упрощается до

$$\cos x \neq 0$$

Шаг 6: Решаем $\cos x = 0$:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Итог:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$