ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 693 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения функции (693—695).

1. y=1/cosx;
2. y=2/sinx;
3. y=tgx/3;
4. y=tg5x.

1. $y = \frac{1}{\cos x}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $\cos x \neq 0$;
   $x \neq \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   Ответ: $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$.
2. $y = \frac{2}{\sin x}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $\sin x \neq 0$;
   $x \neq \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
   Ответ: $x \neq \pi n$.
3. $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $\frac{x}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $x \neq 3 \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$;
   Ответ: $x \neq \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$.
4. $y = \operatorname{tg} 5x$;
   Выражение имеет смысл при:
   $5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$;
   $x \neq \frac{1}{5} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$;
   Ответ: $x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$.

Во всех примерах речь идёт об области определения функций, которые содержат дроби или тангенс. Область определения — это множество значений $x$, для которых выражение под функцией имеет смысл (не приводит к делению на ноль, извлечению корня из отрицательного числа и т.п.).

1) $y = \frac{1}{\cos x}$

Шаг 1: Найдём, когда выражение имеет смысл.

В знаменателе стоит $\cos x$, а деление на ноль запрещено, значит:

$$\cos x \neq 0$$

Шаг 2: Найдём $x$, при которых $\cos x = 0$.

Известно, что:

$$\cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Запретим эти значения $x$.

Значит область определения будет:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

2) $y = \frac{2}{\sin x}$

Шаг 1: Условие существования выражения — знаменатель не равен нулю:

$$\sin x \neq 0$$

Шаг 2: Найдём значения $x$, при которых $\sin x = 0$.

Известно, что:

$$\sin x = 0 \iff x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 3: Запретим эти значения:

$$x \neq \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x \neq \pi n$$

3) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{3}$

Шаг 1: Тангенс не определён, когда его аргумент равен:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Потому что в этих точках $\cos$ в знаменателе тангенса равен нулю.

Шаг 2: Запишем условие области определения:

$$\frac{x}{3} \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 3: Умножаем обе части неравенства на 3:

$$x \neq 3 \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$$

Ответ:

$$x \neq \frac{3\pi}{2} + 3\pi n$$

4) $y = \operatorname{tg} 5x$

Шаг 1: Тангенс не определён, когда аргумент равен:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Шаг 2: Записываем условие:

$$5x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 3: Делим обе части на 5:

$$x \neq \frac{1}{5} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$$

Ответ:

$$x \neq \frac{\pi}{10} + \frac{\pi n}{5}$$