ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 691 Алимов — Подробные Ответы

Найти область определения функции:

1. y=sin2x;
2. y=cosx/2;
3. y=cos1/x;
4. y=sin 2/x;
5. y=sin корень x;
6. y=cos корень ((x-1/(x+1)).

Функции $\sin a$ и $\cos a$ определены при любых значениях $a$.

1. $y = \sin 2x$;
   Ответ: $x \in \mathbb{R}$.
2. $y = \cos \frac{x}{2}$;
   Ответ: $x \in \mathbb{R}$.
3. $y = \cos \frac{1}{x}$;
   Ответ: $x \neq 0$.
4. $y = \sin \frac{2}{x}$;
   Ответ: $x \neq 0$.
5. $y = \sin \sqrt{x}$;
   Ответ: $x \geq 0$.
6. $y = \cos \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$;
   Выражение имеет смысл при:
   $x + 1 \neq 0$, отсюда $x \neq -1$;
   $\frac{x-1}{x+1} \geq 0$;
   Ответ: $x < -1$ и $x \geq 1$.

Функции $\sin a$ и $\cos a$ определены при любых действительных значениях аргумента $a$. Это значит, что для любого числа $a \in \mathbb{R}$, значения $\sin a$ и $\cos a$ существуют и определены.

Но в данных задачах аргументом тригонометрических функций выступают выражения, содержащие $x$, иногда в виде дробей или корней, поэтому нужно проверить, при каких значениях $x$ эти выражения имеют смысл.

1) $y = \sin 2x$

Аргумент функции: $2x$.

• $2x$ — это линейная функция, которая определена при любом $x \in \mathbb{R}$.
• Так как $\sin$ определена для всех действительных чисел, значит, функция $y = \sin 2x$ определена для всех $x$.

Ответ:

$$x \in \mathbb{R}$$

2) $y = \cos \frac{x}{2}$

Аргумент функции: $\frac{x}{2}$.

• $\frac{x}{2}$ — тоже линейная функция от $x$, определена при всех $x \in \mathbb{R}$.
• $\cos$ определена для всех вещественных чисел.

Ответ:

$$x \in \mathbb{R}$$

3) $y = \cos \frac{1}{x}$

Аргумент функции: $\frac{1}{x}$.

• Дробь $\frac{1}{x}$ определена при всех $x$, кроме $x=0$, так как деление на ноль не определено.
• Значит, для аргумента $\frac{1}{x}$ функция определена при условии:

$$x \neq 0$$

• $\cos$ при любом действительном аргументе определена.

Ответ:

$$x \neq 0$$

4) $y = \sin \frac{2}{x}$

Аргумент функции: $\frac{2}{x}$.

• Аналогично предыдущему пункту, дробь $\frac{2}{x}$ определена при всех $x \neq 0$.
• Значит, функция определена при:

$$x \neq 0$$

• $\sin$ определена на всех числах.

Ответ:

$$x \neq 0$$

5) $y = \sin \sqrt{x}$

Аргумент функции: $\sqrt{x}$.

• Корень $\sqrt{x}$ определён только для $x \geq 0$, так как подкоренное выражение не может быть отрицательным в области действительных чисел.
• Значит, функция определена при:

$$x \geq 0$$

• $\sin$ определена на всех числах.

Ответ:

$$x \geq 0$$

6) $y = \cos \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$

Аргумент функции: $\sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$.

Чтобы функция была определена, нужно чтобы:

Выражение под корнем было неотрицательным (так как корень квадратный из отрицательного числа в области действительных чисел не определён):

$$\frac{x-1}{x+1} \geq 0$$

Знаменатель не равнялся нулю:

$$x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$$

Рассмотрим неравенство:

$$\frac{x-1}{x+1} \geq 0$$

Для дроби знак зависит от знаков числителя и знаменателя:

• Числитель: $x — 1$
• Знаменатель: $x + 1$

Чтобы дробь была неотрицательной, числитель и знаменатель должны иметь одинаковый знак (оба положительные или оба отрицательные), или числитель равен нулю.

Разобьём на интервалы по нулям числителя и знаменателя:

• Точки критические: $x=1$ и $x=-1$ (запрещено равенство знаменателя нулю)

Проверим интервалы:

• Для $x < -1$:
  • $x — 1 < 0$ (числитель отрицателен)
  • $x + 1 < 0$ (знаменатель отрицателен)

  Значит дробь $\geq 0$, так как отрицательное делённое на отрицательное — положительное.

• Для $-1 < x < 1$:
  • $x — 1 < 0$ (числитель отрицателен)
  • $x + 1 > 0$ (знаменатель положителен)

  Дробь отрицательна.

• Для $x > 1$:
  • $x — 1 > 0$
  • $x + 1 > 0$

  Дробь положительна.

• При $x = 1$:

  $$\frac{1-1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0 \geq 0$$

  Корень из 0 равен 0, это допустимо.

Итог по области определения подкоренного выражения:

$$x < -1 \quad \text{или} \quad x \geq 1$$

Также учтено, что $x \neq -1$ (знаменатель не ноль).

Ответ:

$$x < -1 \quad \text{или} \quad x \geq 1$$