ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 688 Алимов — Подробные Ответы

Найти все значения а, при которых уравнение sin10 х + cos10 х = а имеет корни.

$$\sin^{10} x + \cos^{10} x = a;$$ $$(\sin^2 x)^5 + (\cos^2 x)^5 = a;$$ $$\frac{(1 — \cos 2x)^5}{2^5} + \frac{(1 + \cos 2x)^5}{2^5} = a;$$ $$\frac{2 + 20 \cos^2 2x + 10 \cos^4 2x}{32} = a;$$ $$10 \cos^4 2x + 20 \cos^2 2x + 2 — 32 a = 0;$$ $$5 \cos^4 2x + 10 \cos^2 2x + (1 — 16 a) = 0;$$

Пусть $y = \cos^2 2x$, тогда:

$$5 y^2 + 10 y + (1 — 16 a) = 0;$$ $$D = 10^2 — 4 \cdot 5 \cdot (1 — 16 a) = 100 — 20 + 320 a = 320 a + 80;$$ $$y = \frac{-10 \pm \sqrt{320 a + 80}}{2 \cdot 5} = -1 \pm \frac{\sqrt{320 a + 80}}{10};$$ $$y = -1 — \frac{\sqrt{320 a + 80}}{10} < 1 \quad \text{— не подходит};$$

Уравнение имеет корни при:

$$-1 \leq \cos^2 2x \leq 1;$$ $$0 \leq \cos 2x \leq 1;$$ $$0 \leq -1 + \frac{\sqrt{320 a + 80}}{10} \leq 1;$$ $$1 \leq \frac{\sqrt{320 a + 80}}{10} \leq 2;$$ $$10 \leq \sqrt{320 a + 80} \leq 20;$$ $$100 \leq 320 a + 80 \leq 400;$$ $$20 \leq 320 a \leq 320;$$ $$\frac{1}{16} \leq a \leq 1.$$

Ответ:

$$\boxed{ \frac{1}{16} \leq a \leq 1 }$$

Дано уравнение:

$$\sin^{10} x + \cos^{10} x = a,$$

где $a$ — некоторое число.

Шаг 1. Запись степени через квадрат

Заметим, что

$$\sin^{10} x = (\sin^2 x)^5, \quad \cos^{10} x = (\cos^2 x)^5.$$

Поэтому можно переписать уравнение как

$$(\sin^2 x)^5 + (\cos^2 x)^5 = a.$$

Шаг 2. Подстановка через косинус двойного угла

Используем формулу:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}, \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}.$$

Тогда

$$\sin^{10} x + \cos^{10} x = \left( \frac{1 — \cos 2x}{2} \right)^5 + \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right)^5 = a.$$

Это равно

$$\frac{(1 — \cos 2x)^5}{2^5} + \frac{(1 + \cos 2x)^5}{2^5} = a.$$

Шаг 3. Раскрытие степеней (бином Ньютона)

Выражение

$$(1 — t)^5 + (1 + t)^5,$$

где $t = \cos 2x$, можно раскрыть с помощью бинома Ньютона:

$$(1 — t)^5 = 1 — 5t + 10 t^2 — 10 t^3 + 5 t^4 — t^5,$$ $$(1 + t)^5 = 1 + 5t + 10 t^2 + 10 t^3 + 5 t^4 + t^5.$$

Складываем:

$$(1 — t)^5 + (1 + t)^5 = 2 + 20 t^2 + 10 t^4,$$

так как члены с нечётными степенями $t$ сокращаются.

Шаг 4. Подставляем обратно:

$$\frac{2 + 20 \cos^2 2x + 10 \cos^4 2x}{32} = a.$$

Шаг 5. Приводим уравнение к стандартному виду:

Умножаем обе части на 32:

$$2 + 20 \cos^2 2x + 10 \cos^4 2x = 32 a.$$

Переписываем:

$$10 \cos^4 2x + 20 \cos^2 2x + 2 — 32 a = 0.$$

Шаг 6. Делим всё на 2 для упрощения:

$$5 \cos^4 2x + 10 \cos^2 2x + (1 — 16 a) = 0.$$

Шаг 7. Вводим замену:

Пусть

$$y = \cos^2 2x.$$

Тогда уравнение становится квадратичным по $y$:

$$5 y^2 + 10 y + (1 — 16 a) = 0.$$

Шаг 8. Вычисляем дискриминант:

$$D = 10^2 — 4 \cdot 5 \cdot (1 — 16 a) = 100 — 20 + 320 a = 320 a + 80.$$

Шаг 9. Находим корни уравнения:

$$y = \frac{-10 \pm \sqrt{320 a + 80}}{2 \cdot 5} = -1 \pm \frac{\sqrt{320 a + 80}}{10}.$$

Шаг 10. Анализ корней:

• Корень

$$y_1 = -1 — \frac{\sqrt{320 a + 80}}{10}$$

всегда меньше $-1$, поэтому не подходит, так как $y = \cos^2 2x \geq 0$.

• Корень

$$y_2 = -1 + \frac{\sqrt{320 a + 80}}{10}$$

может быть допустимым.

Шаг 11. Определяем допустимый диапазон для $y_2$:

Так как $y = \cos^2 2x$, по определению

$$0 \leq y \leq 1.$$

Следовательно

$$0 \leq -1 + \frac{\sqrt{320 a + 80}}{10} \leq 1.$$

Шаг 12. Решаем неравенства:

Первое:

$$0 \leq -1 + \frac{\sqrt{320 a + 80}}{10} \implies 1 \leq \frac{\sqrt{320 a + 80}}{10}.$$

Второе:

$$-1 + \frac{\sqrt{320 a + 80}}{10} \leq 1 \implies \frac{\sqrt{320 a + 80}}{10} \leq 2.$$

Шаг 13. Умножаем на 10:

$$10 \leq \sqrt{320 a + 80} \leq 20.$$

Шаг 14. Возводим в квадрат:

$$100 \leq 320 a + 80 \leq 400.$$

Шаг 15. Переносим 80:

$$20 \leq 320 a \leq 320.$$

Шаг 16. Делим на 320:

$$\frac{1}{16} \leq a \leq 1.$$

Итог:

Допустимые значения параметра $a$:

$$\boxed{ \frac{1}{16} \leq a \leq 1. }$$