ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 686 Алимов — Подробные Ответы

1) система

sinx/siny =5/3,

cosx/cosy=1/3;

2) система

sinxcosy=1/2,

cossiny=-1/2.

Задача 1:

$$\begin{cases} \dfrac{\sin x}{\sin y} = \dfrac{5}{3}, \\ \dfrac{\cos x}{\cos y} = \dfrac{1}{3}. \end{cases}$$

Почленно сложим первое и второе уравнения:

$$\dfrac{\sin x}{\sin y} + \dfrac{\cos x}{\cos y} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{3};$$ $$\dfrac{\sin x \cdot \cos y + \sin y \cdot \cos x}{\sin y \cdot \cos y} = 2;$$ $$\dfrac{\sin(x + y)}{\frac{1}{2} \sin 2y} = 2 \quad \Big| \cdot \frac{1}{2};$$ $$\dfrac{\sin(x + y)}{\sin 2y} = 1;$$ $$\sin(x + y) = \sin 2y;$$ $$\sin(x + y) — \sin 2y = 0;$$ $$2 \sin \frac{x + y — 2y}{2} \cdot \cos \frac{x + y + 2y}{2} = 0;$$ $$\sin \frac{x — y}{2} \cdot \cos \frac{x + 3y}{2} = 0.$$

Первое уравнение:

$$\sin \frac{x — y}{2} = 0;$$ $$\frac{x — y}{2} = \pi n;$$ $$x — y = 2 \pi n;$$ $$x = y + 2 \pi n.$$

Второе уравнение:

$$\cos \frac{x + 3y}{2} = 0;$$ $$\frac{x + 3y}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x + 3y = \pi + 2 \pi n;$$ $$x = \pi + 2 \pi n — 3y.$$

Подставим найденные значения в первое уравнение системы:

$$\dfrac{\sin(y + 2 \pi n)}{\sin y} = \dfrac{\sin y}{\sin y} = 1 \neq \dfrac{5}{3} \quad \text{— не подходит};$$ $$\dfrac{\sin(\pi + 2 \pi n — 3y)}{\sin y} = \dfrac{5}{3};$$ $$\dfrac{\sin(\pi — 3y)}{\sin y} = \dfrac{5}{3};$$ $$\dfrac{\sin 3y}{\sin y} = \dfrac{5}{3}.$$

Используем формулу тройного угла:

$$\dfrac{3 \sin y — 4 \sin^3 y}{\sin y} = \dfrac{5}{3};$$ $$3 — 4 \sin^2 y = \dfrac{5}{3};$$ $$4 \sin^2 y = 3 — \dfrac{5}{3};$$ $$4 \sin^2 y = \dfrac{4}{3};$$ $$\sin^2 y = \dfrac{1}{3};$$ $$\sin y = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}.$$

Общее решение для $y$:

$$y_1 = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi k;$$ $$y_2 = (-1)^n \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi k;$$ $$y = \pm \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi k.$$

Значение переменной $x$:

$$x = \pi \pm 3 \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi (2n — k).$$

Ответ:

$$x = \pi \pm 3 \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi (2n — k); \quad y = \pm \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi k.$$

Задача 2:

$$\begin{cases} \sin x \cdot \cos y = \dfrac{1}{2}, \\ \cos x \cdot \sin y = -\dfrac{1}{2}. \end{cases}$$

Почленно сложим первое и второе уравнения:

$$\sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y = \dfrac{1}{2} — \dfrac{1}{2};$$ $$\sin(x + y) = 0;$$ $$x + y = \pi n;$$ $$x = \pi n — y.$$

Почленно вычтем из первого уравнения второе:

$$\sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2};$$ $$\sin(x — y) = 1;$$ $$x — y = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k;$$ $$x = y + \frac{\pi}{2} + 2 \pi k.$$

Получаем уравнение:

$$\pi n — y = y + \frac{\pi}{2} + 2 \pi k;$$ $$-2 y = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k — \pi n;$$ $$y = -\frac{\pi}{4} — \pi k + \frac{\pi n}{2}.$$

Значение переменной $x$:

$$x = \pi n — y = \pi n + \frac{\pi}{4} + \pi k — \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{\pi n}{2}.$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{\pi n}{2}; \quad y = -\frac{\pi}{4} — \pi k + \frac{\pi n}{2}.$$

Задача 1.

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} \dfrac{\sin x}{\sin y} = \dfrac{5}{3}, \\ \dfrac{\cos x}{\cos y} = \dfrac{1}{3}. \end{cases}$$

Шаг 1. Почленно складываем два уравнения

Складываем левую части и правые части уравнений:

$$\dfrac{\sin x}{\sin y} + \dfrac{\cos x}{\cos y} = \dfrac{5}{3} + \dfrac{1}{3} = 2.$$

Шаг 2. Приводим левую часть к общему знаменателю

Общий знаменатель — $\sin y \cdot \cos y$, переписываем:

$$\dfrac{\sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y}{\sin y \cdot \cos y} = 2.$$

Шаг 3. Используем тригонометрическое тождество для суммы синусов

В числителе у нас

$$\sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y = \sin (x + y).$$

В знаменателе:

$$\sin y \cdot \cos y = \frac{1}{2} \sin 2y.$$

Подставляем:

$$\dfrac{\sin(x + y)}{\frac{1}{2} \sin 2y} = 2.$$

Шаг 4. Умножаем обе части на $\frac{1}{2}$:

$$\dfrac{\sin(x + y)}{\sin 2y} = 1.$$

Шаг 5. Получаем уравнение:

$$\sin(x + y) = \sin 2y.$$

Переносим все в одну сторону:

$$\sin(x + y) — \sin 2y = 0.$$

Шаг 6. Используем формулу разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A — B}{2}.$$

Подставляем $A = x + y$, $B = 2y$:

$$2 \cos \frac{x + y + 2y}{2} \cdot \sin \frac{x + y — 2y}{2} = 0,$$

то есть

$$2 \cos \frac{x + 3y}{2} \cdot \sin \frac{x — y}{2} = 0.$$

Шаг 7. Решаем произведение, равное нулю

Это возможно, если хотя бы один из множителей равен нулю:

$$\sin \frac{x — y}{2} = 0,$$

или

$$\cos \frac{x + 3y}{2} = 0.$$

Шаг 8. Решаем первое уравнение:

$$\sin \frac{x — y}{2} = 0.$$

Общее решение синуса равного нулю:

$$\frac{x — y}{2} = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x — y = 2 \pi n,$$

то есть

$$x = y + 2 \pi n.$$

Шаг 9. Решаем второе уравнение:

$$\cos \frac{x + 3y}{2} = 0.$$

Общее решение косинуса равного нулю:

$$\frac{x + 3y}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x + 3y = \pi + 2 \pi n,$$

то есть

$$x = \pi + 2 \pi n — 3 y.$$

Шаг 10. Проверяем первое решение

Подставляем

$$x = y + 2 \pi n$$

в первое уравнение системы:

$$\frac{\sin x}{\sin y} = \frac{\sin(y + 2 \pi n)}{\sin y} = \frac{\sin y}{\sin y} = 1,$$

что не равно $\frac{5}{3}$, следовательно этот вариант не подходит.

Шаг 11. Проверяем второе решение

Подставляем

$$x = \pi + 2 \pi n — 3 y$$

в первое уравнение:

$$\frac{\sin x}{\sin y} = \frac{\sin(\pi + 2 \pi n — 3 y)}{\sin y} = \frac{\sin(\pi — 3 y)}{\sin y} = \frac{\sin 3 y}{\sin y} = \frac{5}{3}.$$

Шаг 12. Используем формулу тройного угла для синуса:

$$\sin 3 y = 3 \sin y — 4 \sin^3 y.$$

Подставляем:

$$\frac{3 \sin y — 4 \sin^3 y}{\sin y} = \frac{5}{3}.$$

Сокращаем $\sin y$ (если $\sin y \neq 0$):

$$3 — 4 \sin^2 y = \frac{5}{3}.$$

Шаг 13. Решаем уравнение для $\sin^2 y$:

$$4 \sin^2 y = 3 — \frac{5}{3} = \frac{9}{3} — \frac{5}{3} = \frac{4}{3}.$$

Следовательно

$$\sin^2 y = \frac{1}{3}.$$

Шаг 14. Находим $\sin y$:

$$\sin y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Общее решение:

$$y = \pm \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 15. Выражаем $x$:

$$x = \pi + 2 \pi n — 3 y = \pi \pm 3 \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi (2 n — k).$$

Итог решения задачи 1:

$$\boxed{ x = \pi \pm 3 \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi (2 n — k); \quad y = \pm \arcsin \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi k. }$$

Задача 2.

Дана система уравнений:

$$\{\begin{array}{l}\sin x\cdot \cos y=\frac{1}{2},\\ \cos x\cdot \sin y=-\frac{1}{2}\mathrm{.}\end{array}$$

Шаг 1. Сложим почленно два уравнения:

$$\sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y = \frac{1}{2} — \frac{1}{2} = 0.$$

Шаг 2. Используем формулу суммы синусов:

$$\sin x \cos y + \cos x \sin y = \sin(x + y).$$

Следовательно,

$$\sin(x + y) = 0.$$

Шаг 3. Решаем уравнение:

$$\sin(x + y) = 0.$$

Общее решение:

$$x + y = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x = \pi n — y.$$

Шаг 4. Вычитаем почленно второе уравнение из первого:

$$\sin x \cdot \cos y — \cos x \cdot \sin y = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1.$$

Шаг 5. Используем формулу разности синусов:

$$\sin x \cos y — \cos x \sin y = \sin(x — y).$$

Следовательно,

$$\sin(x — y) = 1.$$

Шаг 6. Решаем уравнение:

$$\sin(x — y) = 1.$$

Общее решение:

$$x — y = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Отсюда

$$x = y + \frac{\pi}{2} + 2 \pi k.$$

Шаг 7. Составляем уравнение с выражениями для $x$:

Из Шага 3 и 6:

$$\pi n — y = y + \frac{\pi}{2} + 2 \pi k.$$

Шаг 8. Решаем уравнение для $y$:

$$\pi n — y = y + \frac{\pi}{2} + 2 \pi k \implies \pi n — \frac{\pi}{2} — 2 \pi k = 2 y,$$

или

$$2 y = \pi n — \frac{\pi}{2} — 2 \pi k.$$

Отсюда

$$y = \frac{\pi n}{2} — \frac{\pi}{4} — \pi k.$$

Шаг 9. Находим $x$:

$$x = \pi n — y = \pi n — \left( \frac{\pi n}{2} — \frac{\pi}{4} — \pi k \right) = \frac{\pi n}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi k.$$

Итог решения задачи 2:

$$\boxed{ x = \frac{\pi}{4} + \pi k + \frac{\pi n}{2}; \quad y = -\frac{\pi}{4} — \pi k + \frac{\pi n}{2}. }$$