ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 685 Алимов — Подробные Ответы

Решить систему уравнений (685—686).

1) cистема

sinycosy=1/2,

sin2x+sin2y=0;

2) система

sinx+siny=1,

cosx-cosy= корень 3.

1.

$$\begin{cases} \sin y \cdot \cos y = \frac{1}{2} \\ \sin 2x + \sin 2y = 0 \end{cases}$$ $$\begin{cases} \frac{1}{2} \sin 2y = \frac{1}{2} \\ \sin 2x + \sin 2y = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin 2y = 1 \\ \sin 2x + 1 = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin 2y = 1 \\ \sin 2x = -1 \end{cases}$$

Значение переменной $x$:

$$\sin 2x = -1;$$ $$2x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Значение переменной $y$:

$$\sin 2y = 1;$$ $$2y = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$y = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad y = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

2.

$$\begin{cases} \sin x + \sin y = 1 \\ \cos x — \cos y = \sqrt{3} \end{cases}$$ $$\begin{cases} 2 \cdot \sin \frac{x+y}{2} \cdot \cos \frac{x-y}{2} = 1 \\ -2 \cdot \sin \frac{x+y}{2} \cdot \sin \frac{x-y}{2} = \sqrt{3} \end{cases}$$

Разделим почленно второе уравнение на первое:

$$-\tan \frac{x-y}{2} = \sqrt{3};$$ $$\tan \frac{x-y}{2} = -\sqrt{3};$$ $$\frac{x-y}{2} = -\arctan \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n;$$ $$x — y = 2 \left( -\frac{\pi}{3} + \pi n \right) = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = y — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Значение переменной $y$:

$$\sin \left( y — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \right) + \sin y = 1;$$ $$\sin \left( y — \frac{2\pi}{3} \right) + \sin y = 1;$$ $$\sin y \cdot \cos \frac{2\pi}{3} — \sin \frac{2\pi}{3} \cdot \cos y + \sin y = 1;$$ $$\sin y \cdot \cos \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) — \sin \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) \cdot \cos y + \sin y = 1;$$ $$-\sin y \cdot \cos \frac{\pi}{3} — \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos y + \sin y = 1;$$ $$-\frac{1}{2} \sin y — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos y + \sin y = 1;$$ $$\frac{1}{2} \sin y — \frac{\sqrt{3}}{2} \cos y = 1;$$ $$\cos \frac{\pi}{3} \cdot \sin y — \sin \frac{\pi}{3} \cdot \cos y = 1;$$ $$\sin \left( y — \frac{\pi}{3} \right) = 1;$$ $$y — \frac{\pi}{3} = \arcsin 1 + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k;$$ $$y = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2\pi k = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2\pi k = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k;$$

Значение переменной $x$:

$$x = y — \frac{2\pi}{3} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} — \frac{4\pi}{6} + 2\pi n + 2\pi k = \frac{\pi}{6} + 2\pi (n + k);$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi (n + k); \quad y = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k.$$

Часть 1.

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} \sin y \cdot \cos y = \frac{1}{2} \\ \sin 2x + \sin 2y = 0 \end{cases}$$

Шаг 1. Преобразуем первое уравнение

Из формулы двойного угла для синуса:

$$\sin 2y = 2 \sin y \cos y,$$

следовательно,

$$\sin y \cdot \cos y = \frac{1}{2} \implies 2 \sin y \cos y = 1 \implies \sin 2y = 1.$$

Шаг 2. Запишем систему с преобразованным уравнением:

$$\begin{cases} \sin 2y = 1 \\ \sin 2x + \sin 2y = 0 \end{cases}$$

Подставим $\sin 2y = 1$ во второе уравнение:

$$\sin 2x + 1 = 0 \implies \sin 2x = -1.$$

Шаг 3. Решаем уравнение для $x$:

$$\sin 2x = -1.$$

Общее решение уравнения $\sin \alpha = -1$ —

$$\alpha = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Подставим $\alpha = 2x$:

$$2x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n.$$

Отсюда

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Шаг 4. Решаем уравнение для $y$:

$$\sin 2y = 1.$$

Общее решение $\sin \beta = 1$:

$$\beta = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Подставим $\beta = 2y$:

$$2y = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n.$$

Отсюда

$$y = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Итог решения первой части:

$$\boxed{ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad y = \frac{\pi}{4} + \pi n. }$$

Часть 2.

Дана система уравнений:

$$\begin{cases} \sin x + \sin y = 1 \\ \cos x — \cos y = \sqrt{3} \end{cases}$$

Шаг 1. Применяем формулы суммы и разности синусов и косинусов:

$$\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x — y}{2} = 1,$$ $$\cos x — \cos y = -2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \sin \frac{x — y}{2} = \sqrt{3}.$$

Запишем систему:

$$\begin{cases} 2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \cos \frac{x — y}{2} = 1 \\ -2 \sin \frac{x + y}{2} \cdot \sin \frac{x — y}{2} = \sqrt{3} \end{cases}$$

Шаг 2. Разделим второе уравнение на первое (при условии, что $\sin \frac{x+y}{2} \neq 0$):

$$\frac{-2 \sin \frac{x + y}{2} \sin \frac{x — y}{2}}{2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x — y}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{1},$$

откуда

$$-\tan \frac{x — y}{2} = \sqrt{3}.$$

Шаг 3. Решаем уравнение для разности:

$$\tan \frac{x — y}{2} = -\sqrt{3}.$$

Общее решение уравнения $\tan \theta = -\sqrt{3}$:

$$\theta = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Следовательно,

$$\frac{x — y}{2} = -\frac{\pi}{3} + \pi n,$$

откуда

$$x — y = -\frac{2\pi}{3} + 2 \pi n,$$

то есть

$$x = y — \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n.$$

Шаг 4. Подставим выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$$\sin x + \sin y = 1.$$

Подставляем

$$\sin \left( y — \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n \right) + \sin y = 1.$$

Поскольку функция синуса $2\pi$-периодична, убираем $2\pi n$:

$$\sin \left( y — \frac{2\pi}{3} \right) + \sin y = 1.$$

Шаг 5. Используем формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cdot \cos \frac{A — B}{2}.$$

Здесь

$$A = y — \frac{2\pi}{3}, \quad B = y.$$

Подставляем:

$$2 \sin \frac{\left(y — \frac{2\pi}{3}\right) + y}{2} \cdot \cos \frac{\left(y — \frac{2\pi}{3}\right) — y}{2} = 1,$$

или

$$2 \sin \left( y — \frac{\pi}{3} \right) \cdot \cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) = 1.$$

Шаг 6. Используем значения косинуса:

$$\cos \left( -\frac{\pi}{3} \right) = \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}.$$

Подставляем:

$$2 \sin \left( y — \frac{\pi}{3} \right) \cdot \frac{1}{2} = 1,$$

откуда

$$\sin \left( y — \frac{\pi}{3} \right) = 1.$$

Шаг 7. Решаем уравнение для $y$:

Общее решение

$$\sin \phi = 1$$

есть

$$\phi = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}.$$

Заменяем $\phi = y — \frac{\pi}{3}$:

$$y — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2 \pi k,$$

откуда

$$y = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + 2 \pi k = \frac{3\pi}{6} + \frac{2\pi}{6} + 2 \pi k = \frac{5\pi}{6} + 2 \pi k.$$

Шаг 8. Находим $x$:

$$x = y — \frac{2\pi}{3} + 2 \pi n = \frac{5\pi}{6} — \frac{4\pi}{6} + 2 \pi n + 2 \pi k = \frac{\pi}{6} + 2 \pi (n + k).$$

Итог решения второй части:

$$\boxed{ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi (n + k); \quad y = \frac{5\pi}{6} + 2 \pi k. }$$