ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 683 Алимов — Подробные Ответы

корень (-4cosxcos2x) = корень (7sin2x).

$$\sqrt{-4 \cos x \cdot \cos 2x} = \sqrt{7 \sin 2x};$$ $$-4 \cos x \cdot \cos 2x = 7 \sin 2x;$$ $$-4 \cdot \cos x \cdot (\cos^2 x — \sin^2 x) — 7 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$-4 \cdot \cos x \cdot ((1 — \sin^2 x) — \sin^2 x) — 14 \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$-4 \cdot \cos x \cdot (1 — 2 \sin^2 x) — 14 \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$-2 \cos x \cdot (2 — 4 \sin^2 x + 7 \sin x) = 0;$$ $$2 — 4 \sin^2 x + 7 \sin x = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$2 — 4 y^2 + 7 y = 0;$$ $$4 y^2 — 7 y — 2 = 0;$$ $$D = 7^2 + 4 \cdot 4 \cdot 2 = 49 + 32 = 81, \quad \text{тогда:}$$ $$y_1 = \frac{7 — 9}{4 \cdot 2} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}, \quad y_2 = \frac{7 + 9}{4 \cdot 2} = 2;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x = -\frac{1}{4};$$ $$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n;$$

Третье уравнение:

$$\sin x = 2 \quad \text{(корней нет)};$$

Число под знаком квадратного корня может быть только положительным, следовательно число $n$ — нечетное:

$$x = \arcsin \frac{1}{4} + \pi (2n + 1);$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n; \quad \arcsin \frac{1}{4} + \pi (2n + 1)}.$$

Дано уравнение:

$$\sqrt{-4 \cos x \cdot \cos 2x} = \sqrt{7 \sin 2x}.$$

Шаг 1. Условие подкоренных выражений

Так как подкоренные выражения должны быть неотрицательны (подкоренное должно быть ≥ 0), то:

$$-4 \cos x \cdot \cos 2x \geq 0,$$ $$7 \sin 2x \geq 0.$$

Также, чтобы корни были равны, должны быть равны подкоренные выражения:

$$-4 \cos x \cdot \cos 2x = 7 \sin 2x.$$

Шаг 2. Запишем уравнение без корней

Перепишем:

$$-4 \cos x \cdot \cos 2x = 7 \sin 2x.$$

Шаг 3. Раскроем $\cos 2x$ и $\sin 2x$ через $\sin x$ и $\cos x$:

Формулы двойного угла:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x,$$ $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Подставим в уравнение:

$$-4 \cos x \cdot (\cos^2 x — \sin^2 x) = 7 \cdot 2 \sin x \cos x,$$

то есть

$$-4 \cos x (\cos^2 x — \sin^2 x) — 14 \sin x \cos x = 0.$$

Шаг 4. Перепишем $\cos^2 x — \sin^2 x$ через $\sin x$:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = (1 — \sin^2 x) — \sin^2 x = 1 — 2 \sin^2 x.$$

Подставляем:

$$-4 \cos x (1 — 2 \sin^2 x) — 14 \sin x \cos x = 0.$$

Шаг 5. Вынесем общий множитель $\cos x$:

$$\cos x \left[-4 (1 — 2 \sin^2 x) — 14 \sin x \right] = 0.$$

Шаг 6. Раскроем скобки:

$$\cos x (-4 + 8 \sin^2 x — 14 \sin x) = 0,$$

то есть

$$\cos x (8 \sin^2 x — 14 \sin x — 4) = 0.$$

Шаг 7. Вынесем уравнение в виде произведения:

$$\cos x = 0,$$

или

$$8 \sin^2 x — 14 \sin x — 4 = 0.$$

Шаг 8. Введём замену:

Пусть

$$y = \sin x.$$

Тогда второе уравнение:

$$8 y^2 — 14 y — 4 = 0.$$

Шаг 9. Решаем квадратное уравнение:

$$8 y^2 — 14 y — 4 = 0.$$

Вычислим дискриминант:

$$D = (-14)^2 — 4 \cdot 8 \cdot (-4) = 196 + 128 = 324.$$

Шаг 10. Найдём корни:

$$y = \frac{14 \pm \sqrt{324}}{2 \cdot 8} = \frac{14 \pm 18}{16}.$$

Первый корень:

$$y_1 = \frac{14 — 18}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}.$$

Второй корень:

$$y_2 = \frac{14 + 18}{16} = \frac{32}{16} = 2.$$

Шаг 11. Анализ корней $y = \sin x$

• Корень $y_2 = 2$ не подходит, так как $\sin x \in [-1, 1]$.
• Корень $y_1 = -\frac{1}{4}$ подходит.

Шаг 12. Решаем уравнения:

1. $\cos x = 0$.
2. $\sin x = -\frac{1}{4}$.

Для $\cos x = 0$:

Общее решение:

$$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Для $\sin x = -\frac{1}{4}$:

Общее решение уравнения $\sin x = a$ имеет вид:

$$x = (-1)^n \arcsin a + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Подставляем $a = -\frac{1}{4}$:

$$x = (-1)^n \arcsin \left(-\frac{1}{4}\right) + \pi n = (-1)^n \left(- \arcsin \frac{1}{4}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{4} + \pi n.$$

Шаг 13. Условие положительности подкоренных выражений

Проверим условие подкоренных выражений, чтобы они были неотрицательны:

$$-4 \cos x \cos 2x \geq 0,$$ $$7 \sin 2x \geq 0.$$

Условие для $\cos x$

Если $\cos x = 0$, тогда подкоренное $-4 \cos x \cos 2x = 0$ — неотрицательно.

Условие для $\sin x = -\frac{1}{4}$

Чтобы

$$-4 \cos x \cos 2x \geq 0,$$

и

$$7 \sin 2x \geq 0,$$

нужно $n$ — нечетным, тогда

$$x = \arcsin \frac{1}{4} + \pi (2n + 1).$$

Шаг 14. Итог решения

Ответ:

$$\boxed{ x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \arcsin \frac{1}{4} + \pi (2n + 1), \quad n \in \mathbb{Z}. }$$