ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 679 Алимов — Подробные Ответы

1. cos x sin 5x = -1;
2. sin x cos 3x = -1.

$\cos x \cdot \sin 5x = -1$;

Первая система уравнений:

$$\begin{cases} \cos x = -1 & \Rightarrow & x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n \\ \sin 5x = 1 & \Rightarrow & 5x = \arcsin 1 + 2\pi n \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x = \pi + 2\pi n \\ 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = \pi + 2\pi n \\ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5} \end{cases}$$ $$\Rightarrow \text{корней нет;}$$

Вторая система уравнений:

$$\begin{cases} \cos x = 1 & \Rightarrow & x = \arccos 1 + 2\pi n \\ \sin 5x = -1 & \Rightarrow & 5x = -\arcsin 1 + 2\pi n \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x = 2\pi n \\ 5x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = 2\pi n \\ x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5} \end{cases}$$ $$\Rightarrow \text{корней нет;}$$

Ответ: решений нет.

$\sin x \cdot \cos 3x = -1$;

Первая система уравнений:

$$\begin{cases} \sin x = 1 & \Rightarrow & x = \arcsin 1 + 2\pi n \\ \cos 3x = -1 & \Rightarrow & 3x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ 3x = \pi + 2\pi n \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} \end{cases}$$ $$\Rightarrow \text{корней нет;}$$

Вторая система уравнений:

$$\begin{cases} \sin x = -1 & \Rightarrow & x = -\arcsin 1 + 2\pi n \\ \cos 3x = 1 & \Rightarrow & 3x = \arccos 1 + 2\pi n \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ 3x = 2\pi n \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ x = \frac{2\pi n}{3} \end{cases}$$ $$\Rightarrow \text{корней нет;}$$

Ответ: решений нет.

1) Решить уравнение $\cos x \cdot \sin 5x = -1$.

Шаг 1. Анализ уравнения

Произведение двух тригонометрических функций равно $-1$.

Поскольку $\cos x$ и $\sin 5x$ по модулю не могут быть больше 1, произведение $\cos x \cdot \sin 5x$ достигает $-1$ только в том случае, если

• $|\cos x| = 1$
• $|\sin 5x| = 1$

и знаки перемножаются так, что произведение равно $-1$.

Шаг 2. Рассмотрение вариантов

Для того чтобы произведение равно $-1$, возможны два варианта:

• Вариант 1:

$$\cos x = -1, \quad \sin 5x = 1$$

• Вариант 2:

$$\cos x = 1, \quad \sin 5x = -1$$

Вариант 1:

$$\cos x = -1, \quad \sin 5x = 1$$

Решаем уравнение $\cos x = -1$

Известно, что косинус равен $-1$ в точках:

$$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Решаем уравнение $\sin 5x = 1$

Синус равен 1 в точках:

$$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

Отсюда:

$$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi m}{5}$$

Система:

$$\begin{cases} x = \pi + 2\pi n \\ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi m}{5} \end{cases}$$

Нужно найти $x$, удовлетворяющий обоим уравнениям, т.е. найти $n,m \in \mathbb{Z}$, для которых

$$\pi + 2\pi n = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi m}{5}$$

Шаг 3. Приведём уравнение к виду с целыми числами

Перенесём $\frac{\pi}{10}$ влево:

$$\pi — \frac{\pi}{10} + 2\pi n = \frac{2\pi m}{5}$$

Вычислим $\pi — \frac{\pi}{10}$:

$$\pi — \frac{\pi}{10} = \frac{10\pi}{10} — \frac{\pi}{10} = \frac{9\pi}{10}$$

Подставляем:

$$\frac{9\pi}{10} + 2\pi n = \frac{2\pi m}{5}$$

Шаг 4. Умножим обе части на 10, чтобы избавиться от дробей

$$9\pi + 20\pi n = 4\pi m$$

Шаг 5. Сократим на $\pi$

$$9 + 20 n = 4 m$$

Или

$$4 m — 20 n = 9$$

Шаг 6. Проверим, существуют ли целые $m, n$, удовлетворяющие этому уравнению

Рассмотрим уравнение в модуле 4:

$$9 \equiv 1 \pmod{4}$$

Так как $20 n$ делится на 4 (потому что $20 = 4 \times 5$):

$$4 m — 20 n \equiv 4 m \equiv 1 \pmod{4}$$

Но $4 m \equiv 0 \pmod{4}$ для любого $m$.

Получается:

$$0 \equiv 1 \pmod{4}$$

Противоречие.

Это значит, что решения нет.

Вывод: решений в этом варианте нет.

Вариант 2:

$$\cos x = 1, \quad \sin 5x = -1$$

Решаем $\cos x = 1$

$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Решаем $\sin 5x = -1$

$$5x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$ $$x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi m}{5}$$

Система:

$$\begin{cases} x = 2\pi n \\ x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi m}{5} \end{cases}$$

Приравняем:

$$2\pi n = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi m}{5}$$

Переносим $-\frac{\pi}{10}$:

$$2\pi n + \frac{\pi}{10} = \frac{2\pi m}{5}$$

Умножим на 10:

$$20\pi n + \pi = 4\pi m$$

Сократим на $\pi$:

$$20 n + 1 = 4 m$$

Или

$$4 m — 20 n = 1$$

Проверим уравнение по модулю 4:

Слева:

$$4 m \equiv 0 \pmod{4}$$

Справа:

$$1 \not\equiv 0 \pmod{4}$$

Противоречие.

Вывод: решений нет.

Ответ по пункту 1:

$$\boxed{\text{решений нет}}$$

2) Решить уравнение $\sin x \cdot \cos 3x = -1$.

Аналогично, поскольку произведение достигает $-1$, нужно, чтобы:

$$|\sin x| = 1, \quad |\cos 3x| = 1$$

и знаки произведения были $-1$.

Возможны варианты:

• $\sin x = 1, \quad \cos 3x = -1$
• $\sin x = -1, \quad \cos 3x = 1$

Вариант 1:

$$\sin x = 1, \quad \cos 3x = -1$$

Решаем $\sin x = 1$:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Решаем $\cos 3x = -1$:

$$3x = \pi + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

Система:

$$\begin{cases} x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ 3x = \pi + 2\pi m \end{cases}$$

Подставим $x$ из первого уравнения во второе:

$$3 \left(\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = \pi + 2\pi m$$

Раскроем скобки:

$$\frac{3\pi}{2} + 6\pi n = \pi + 2\pi m$$

Перенесём все в левую часть:

$$\frac{3\pi}{2} — \pi + 6\pi n — 2\pi m = 0$$ $$\frac{\pi}{2} + 6\pi n — 2\pi m = 0$$

Разделим на $\pi$:

$$\frac{1}{2} + 6 n — 2 m = 0$$

Или

$$6 n — 2 m = -\frac{1}{2}$$

Здесь левая часть — целое число, правая — дробь. Значит, решений нет.

Вариант 2:

$$\sin x = -1, \quad \cos 3x = 1$$

Решаем $\sin x = -1$:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Решаем $\cos 3x = 1$:

$$3x = 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z}$$

Система:

$$\begin{cases} x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ 3x = 2\pi m \end{cases}$$

Подставим $x$ из первого уравнения во второе:

$$3 \left(-\frac{\pi}{2} + 2\pi n\right) = 2\pi m$$

Раскроем скобки:

$$-\frac{3\pi}{2} + 6\pi n = 2\pi m$$

Перенесём всё в левую часть:

$$-\frac{3\pi}{2} + 6\pi n — 2\pi m = 0$$

Разделим на $\pi$:

$$-\frac{3}{2} + 6 n — 2 m = 0$$

Или

$$6 n — 2 m = \frac{3}{2}$$

Левая часть — целое число, правая — дробь. Решений нет.

Ответ по пункту 2:

$$\boxed{\text{решений нет}}$$