ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 678 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (678—684).

1. sin2x/sinx =0;
2. sin3x/sinx =0;
3. cos2x/cosx =0;
4. cos3x/cosx =0;
5. sinx/sin5x =0;
6. cosx/cos7x =0.

1. $\frac{\sin 2x}{\sin x} = 0$;

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

2. $\frac{\sin 3x}{\sin x} = 0$;

Первое уравнение:

$$\sin 3x = 0;$$ $$3x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{\pi n}{3};$$

Второе уравнение:

$$\sin x \neq 0;$$ $$x \neq \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{3} + \pi n$.

3. $\frac{\cos 2x}{\cos x} = 0$;

Первое уравнение:

$$\cos 2x = 0;$$ $$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

4. $\frac{\cos 3x}{\cos x} = 0$;

Первое уравнение:

$$\cos 3x = 0;$$ $$3x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3};$$

Второе уравнение:

$$\cos x \neq 0;$$ $$x \neq \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Ответ: $\pm \frac{\pi}{6} + \pi n$.

5. $\frac{\sin x}{\sin 5x} = 0$;

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin 5x \neq 0;$$ $$5x \neq \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x \neq \frac{\pi n}{5};$$

Ответ: решений нет.

6. $\frac{\cos x}{\cos 7x} = 0$;

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos 7x \neq 0;$$ $$7x \neq \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x \neq \frac{1}{7} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi n}{7};$$

Ответ: решений нет.

1) $\frac{\sin 2x}{\sin x} = 0$

Шаг 1: Условие нуля дроби

$$\frac{\sin 2x}{\sin x} = 0 \iff \sin 2x = 0 \quad \text{и} \quad \sin x \neq 0.$$

Шаг 2: Решаем уравнение $\sin 2x = 0$

Из тригонометрии:

$$\sin \theta = 0 \iff \theta = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Подставим $\theta = 2x$:

$$2x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 3: Условие ненулевого знаменателя $\sin x \neq 0$

Аналогично:

$$\sin x = 0 \iff x = \pi m, \quad m \in \mathbb{Z}.$$

Значит,

$$x \neq \pi m.$$

Шаг 4: Итог

Из множества решений $x = \frac{\pi n}{2}$ исключаем те, что равны $\pi m$.

• Если $n$ чётно, то

$$x = \frac{\pi (2k)}{2} = \pi k,$$

что запрещено.

• Если $n$ нечётно, например $n = 2k + 1$,

$$x = \frac{\pi (2k + 1)}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k,$$

то таких решений не запрещено.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2) $\frac{\sin 3x}{\sin x} = 0$

Шаг 1: Нуль дроби

$$\sin 3x = 0, \quad \sin x \neq 0.$$

Шаг 2: Решаем $\sin 3x = 0$

$$3x = \pi n \implies x = \frac{\pi n}{3}.$$

Шаг 3: Условие $\sin x \neq 0$

$$x \neq \pi m.$$

Шаг 4: Исключаем из решений $\sin 3x=0$ значения, для которых $\sin x=0$

• Значения $x = \pi m$ запрещены.
• Рассмотрим $x = \frac{\pi n}{3}$:
  • Если $\frac{\pi n}{3} = \pi m \implies n = 3m$.
• Значит, запрещены решения с $n$ кратным 3.

Шаг 5: Записываем решение

$$x = \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}, \quad n \neq 3m.$$

Или

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Ответ:

$$x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

3) $\frac{\cos 2x}{\cos x} = 0$

Шаг 1: Ноль дроби

$$\cos 2x = 0, \quad \cos x \neq 0.$$

Шаг 2: Решаем $\cos 2x = 0$

$$\cos \theta = 0 \iff \theta = \frac{\pi}{2} + \pi n,$$

следовательно

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

Шаг 3: Условие $\cos x \neq 0$

$$\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi m,$$

то есть

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m.$$

Шаг 4: Проверяем, не попадают ли решения из шага 2 в запрещённые

• Решения:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}.$$

• Запрещённые:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi m.$$

Если при некотором $n, m$ эти значения совпадают:

$$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi m.$$

Умножим на 4 и поделим на $\pi$:

$$1 + 2n = 2 + 4m \implies 2n = 1 + 4m \implies n = \frac{1}{2} + 2m,$$

что нецелое (поскольку $n$ и $m$ целые).

Значит, решений пересечения нет — все решения $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$ разрешены.

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

4) $\frac{\cos 3x}{\cos x} = 0$

Шаг 1: Ноль дроби

$$\cos 3x = 0, \quad \cos x \neq 0.$$

Шаг 2: Решаем $\cos 3x = 0$

$$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}.$$

Шаг 3: Условие $\cos x \neq 0$

$$x \neq \frac{\pi}{2} + \pi m.$$

Шаг 4: Проверяем совпадения

Проверяем при каких $n, m$:

$$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3} = \frac{\pi}{2} + \pi m.$$

Умножим на 6 и поделим на $\pi$:

$$1 + 2n = 3 + 6m \implies 2n = 2 + 6m \implies n = 1 + 3m,$$

что целое для целых $m$, значит совпадения есть.

Чтобы исключить совпадения, нужно убрать из решений $n = 1 + 3m$.

Шаг 5: Итоговое решение

Запретить $n = 1 + 3m$.

Тогда решение — все остальные $n$.

Выражаем это как:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n,$$

потому что период $\pi$ для косинуса сдвигает решения.

Ответ:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

5) $\frac{\sin x}{\sin 5x} = 0$

Шаг 1: Ноль дроби

$$\sin x = 0, \quad \sin 5x \neq 0.$$

Шаг 2: Решаем $\sin x = 0$

$$x = \pi n.$$

Шаг 3: Проверяем условие $\sin 5x \neq 0$

$$\sin 5x = 0 \implies 5x = \pi m \implies x = \frac{\pi m}{5}.$$

Шаг 4: Исключаем совпадения

Если $x = \pi n$, чтобы $\sin 5x \neq 0$, то

$$\pi n \neq \frac{\pi m}{5} \implies 5n \neq m,$$

но $m, n$ — любые целые, значит

$$x = \pi n$$

всегда кратно $\frac{\pi m}{5}$ при $m=5n$.

Следовательно, каждое решение $x = \pi n$ — запрещённое.

Ответ:

Решений нет.

6) $\frac{\cos x}{\cos 7x} = 0$

Шаг 1: Ноль дроби

$$\cos x = 0, \quad \cos 7x \neq 0.$$

Шаг 2: Решаем $\cos x = 0$

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Шаг 3: Проверяем $\cos 7x \neq 0$

$$\cos 7x = 0 \implies 7x = \frac{\pi}{2} + \pi m \implies x = \frac{1}{7} \left( \frac{\pi}{2} + \pi m \right) = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi m}{7}.$$

Шаг 4: Исключаем совпадения

Проверим, не совпадают ли решения:

$$\frac{\pi}{2} + \pi n = \frac{\pi}{14} + \frac{\pi m}{7}.$$

Умножаем на 14 и делим на $\pi$:

$$7 + 14 n = 1 + 2 m \implies 2 m = 6 + 14 n \implies m = 3 + 7 n,$$

что целое число.

Значит, решения совпадают и запрещены.

Ответ:

Решений нет.