ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 674 Алимов — Подробные Ответы

1. sin2 x — cos x cos 3x =1/4;
2. sin 3x = 3 sin x;
3. 3 cos 2x — 7 sin x — 4;
4. 1 + cos x + cos 2x = 0;
5. 5 sin 2x + 4 cos3 x — 8 cos x = 0.

Задача 1:

$\sin^2 x — \cos x \cdot \cos 3x = \frac{1}{4};$

Решение:

$$\sin^2 x — \frac{1}{2} (\cos(x + 3x) + \cos(x — 3x)) — \frac{1}{4} = 0;$$ $$2 \sin^2 x — (\cos 4x + \cos 2x) — \frac{1}{2} = 0;$$ $$2 \sin^2 x — (\cos 2x + \cos^2 2x — \sin^2 2x) — \frac{1}{2} = 0;$$ $$2 \sin^2 x — (\cos 2x + \cos^2 2x — (1 — \cos^2 2x)) — \frac{1}{2} = 0;$$ $$2 \sin^2 x — (\cos 2x + 2 \cos^2 2x — 1) — \frac{1}{2} = 0;$$ $$1 — \cos 2x — \cos 2x — 2 \cos^2 2x + 1 — \frac{1}{2} = 0;$$ $$-2 \cos^2 2x — 2 \cos 2x + \frac{3}{2} = 0;$$ $$4 \cos^2 2x + 4 \cos 2x — 3 = 0;$$

Пусть $y = \cos 2x$, тогда:

$$4y^2 + 4y — 3 = 0;$$ $$D = 4^2 + 4 \cdot 4 \cdot 3 = 16 + 48 = 64;$$ $$y_1 = \frac{-4 — 8}{2 \cdot 4} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2};$$ $$y_2 = \frac{-4 + 8}{2 \cdot 4} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2};$$

Первое уравнение:

$$\cos 2x = -\frac{3}{2} \quad \text{(корней нет)};$$

Второе уравнение:

$$\cos 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\pm \frac{\pi}{6} + \pi n}.$$

Задача 2:

$\sin 3x = 3 \sin x;$

Решение:

$$\sin 3x + \sin x = 4 \sin x;$$ $$2 \sin \frac{3x + x}{2} \cdot \cos \frac{3x — x}{2} — 4 \sin x = 0;$$ $$2 \sin 2x \cdot \cos x — 4 \sin x = 0;$$ $$4 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos x — 4 \sin x = 0;$$ $$4 \sin x \cdot (\cos^2 x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos^2 x — 1 = 0;$$ $$\cos^2 x = 1;$$ $$\cos x = \pm 1;$$ $$x_1 = \pi — \arccos 1 + \pi n = \pi + 2\pi n;$$ $$x_2 = \arccos 1 + \pi n = 2\pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\pi n}.$$

Задача 3:

$3 \cos 2x — 7 \sin x = 4;$

Решение:

$$3 (\cos^2 x — \sin^2 x) — 7 \sin x — 4 = 0;$$ $$3 (1 — \sin^2 x — \sin^2 x) — 7 \sin x — 4 = 0;$$ $$3 — 6 \sin^2 x — 7 \sin x — 4 = 0;$$ $$6 \sin^2 x + 7 \sin x + 1 = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$6y^2 + 7y + 1 = 0;$$ $$D = 7^2 — 6 \cdot 4 = 49 — 24 = 25;$$ $$y_1 = \frac{-7 — 5}{2 \cdot 6} = -1;$$ $$y_2 = \frac{-7 + 5}{2 \cdot 6} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6};$$

Первое уравнение:

$$\sin x = -1;$$ $$x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x = \frac{1}{6};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{6} + \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \, (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{6} + \pi n}.$$

Задача 4:

$1 + \cos x + \cos 2x = 0;$

Решение:

$$\cos^2 x + \sin^2 x + \cos x + \cos^2 x — \sin^2 x = 0;$$ $$2 \cos^2 x + \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot (2 \cos x + 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \cos x + 1 = 0;$$ $$2 \cos x = -1;$$ $$\cos x = -\frac{1}{2};$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n; \, \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n}.$$

Задача 5:

$5 \sin 2x + 4 \cos^3 x — 8 \cos x = 0;$

Решение:

$$10 \sin x \cdot \cos x + 4 \cos^3 x — 8 \cos x = 0;$$ $$2 \cos x \cdot (5 \sin x + 2 \cos^2 x — 4) = 0;$$ $$\cos x \cdot (5 \sin x + 2 (1 — \sin^2 x) — 4) = 0;$$ $$\cos x \cdot (5 \sin x — 2 \sin^2 x — 2) = 0;$$

Пусть $y = \sin x$, тогда:

$$5y — 2y^2 — 2 = 0;$$ $$2y^2 — 5y + 2 = 0;$$ $$D = 5^2 — 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 — 16 = 9;$$ $$y_1 = \frac{5 — 3}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$ $$y_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Третье уравнение:

$$\sin x = 2 \quad \text{(корней нет)};$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n; \, (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}.$$

Задача 1:

$\sin^2 x — \cos x \cdot \cos 3x = \frac{1}{4}$

Решение:

Переносим всё в одну сторону, чтобы получить уравнение, равное нулю:

$$\sin^2 x — \cos x \cdot \cos 3x — \frac{1}{4} = 0.$$

Используем формулу произведения косинусов:

$$\cos A \cdot \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A + B) + \cos(A — B)].$$

Здесь $A = x$, $B = 3x$, значит:

$$\cos x \cdot \cos 3x = \frac{1}{2}[\cos(4x) + \cos(-2x)].$$

Поскольку $\cos(-\theta) = \cos \theta$, получаем:

$$\cos x \cdot \cos 3x = \frac{1}{2}[\cos 4x + \cos 2x].$$

Подставляем обратно:

$$\sin^2 x — \frac{1}{2} (\cos 4x + \cos 2x) — \frac{1}{4} = 0.$$

Домножаем все на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$2 \sin^2 x — (\cos 4x + \cos 2x) — \frac{1}{2} = 0.$$

Используем формулу $\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$:

$$2 \sin^2 x = 2 \cdot \frac{1 — \cos 2x}{2} = 1 — \cos 2x.$$

Подставим:

$$1 — \cos 2x — \cos 4x — \cos 2x — \frac{1}{2} = 0,$$

что можно переписать как:

$$1 — 2 \cos 2x — \cos 4x — \frac{1}{2} = 0.$$

Сгруппируем константы:

$$(1 — \frac{1}{2}) — 2 \cos 2x — \cos 4x = 0,$$

то есть

$$\frac{1}{2} — 2 \cos 2x — \cos 4x = 0.$$

Переносим константу:

$$-2 \cos 2x — \cos 4x = -\frac{1}{2}.$$

Домножим на -1:

$$2 \cos 2x + \cos 4x = \frac{1}{2}.$$

Используем формулу для $\cos 4x$ через $\cos 2x$:

$$\cos 4x = 2 \cos^2 2x — 1.$$

Подставим:

$$2 \cos 2x + 2 \cos^2 2x — 1 = \frac{1}{2}.$$

Переносим $\frac{1}{2}$ в левую сторону:

$$2 \cos^2 2x + 2 \cos 2x — 1 — \frac{1}{2} = 0,$$

то есть

$$2 \cos^2 2x + 2 \cos 2x — \frac{3}{2} = 0.$$

Домножим на 2 для удобства:

$$4 \cos^2 2x + 4 \cos 2x — 3 = 0.$$

Пусть $y = \cos 2x$. Тогда уравнение:

$$4y^2 + 4y — 3 = 0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D = b^2 — 4ac = 4^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64.$$

Корни:

$$y = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8}.$$

Первый корень:

$$y_1 = \frac{-4 — 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}.$$

Второй корень:

$$y_2 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.$$

Значение $y_1 = -\frac{3}{2}$ не может быть значением косинуса, так как $\cos$ принимает значения только в диапазоне $[-1,1]$. Значит, решений из этого корня нет.

Для $y_2 = \frac{1}{2}$:

$$\cos 2x = \frac{1}{2}.$$

Общее решение уравнения $\cos \theta = \frac{1}{2}$ имеет вид:

$$\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Подставляем $\theta = 2x$:

$$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Делим обе части на 2:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ:

$$\boxed{x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}.$$

Задача 2:

$\sin 3x = 3 \sin x$

Решение:

Переносим все слагаемые влево:

$$\sin 3x — 3 \sin x = 0.$$

Используем формулу разности синусов через произведение:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}.$$

Применяем к $\sin 3x — 3 \sin x$, но тут коэффициент 3 мешает. Вместо этого можно переписать:

$$\sin 3x = 3 \sin x.$$

Возьмём другую трактовку: запишем

$$\sin 3x — 3 \sin x = 0,$$

или

$$\sin 3x = 3 \sin x.$$

Переносим $3 \sin x$ влево:

$$\sin 3x — 3 \sin x = 0.$$

Попробуем использовать сумму синусов:

$$\sin 3x + \sin x = 4 \sin x,$$

переписано из условия для дальнейших преобразований.

Представим как

$$\sin 3x + \sin x — 4 \sin x = 0,$$

что даёт

$$\sin 3x + \sin x = 4 \sin x.$$

Выделим $4 \sin x$ справа, а слева используем формулу суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A — B}{2}.$$

Для $A=3x$, $B=x$:

$$\sin 3x + \sin x = 2 \sin 2x \cdot \cos x.$$

Следовательно уравнение перепишется как:

$$2 \sin 2x \cdot \cos x = 4 \sin x.$$

Переносим $4 \sin x$ влево:

$$2 \sin 2x \cdot \cos x — 4 \sin x = 0.$$

Используем формулу $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$:

$$2 \cdot (2 \sin x \cos x) \cdot \cos x — 4 \sin x = 0,$$

или

$$4 \sin x \cos^2 x — 4 \sin x = 0.$$

Вынесем общий множитель:

$$4 \sin x (\cos^2 x — 1) = 0.$$

Получаем два уравнения:

$$\sin x = 0,$$

и

$$\cos^2 x — 1 = 0.$$

Решаем первое уравнение:

$$\sin x = 0,$$

общий вид решения:

$$x = \pi n.$$

Решаем второе уравнение:

$$\cos^2 x = 1,$$

то есть

$$\cos x = \pm 1.$$

Для $\cos x = 1$:

$$x = 2 \pi n.$$

Для $\cos x = -1$:

$$x = \pi + 2 \pi n.$$

Заметим, что все эти решения входят в общее множество $x = \pi n$.

Ответ:

$$\boxed{x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}}.$$

Задача 3:

$3 \cos 2x — 7 \sin x = 4$

Решение:

Переносим всё в одну сторону:

$$3 \cos 2x — 7 \sin x — 4 = 0.$$

Используем формулу для двойного угла:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x = 1 — 2 \sin^2 x,$$

или в другой форме, для удобства:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x.$$

Подставляем:

$$3 (\cos^2 x — \sin^2 x) — 7 \sin x — 4 = 0.$$

Переходим к одному тригонометрическому аргументу. Так как у нас есть $\sin x$ и $\cos^2 x — \sin^2 x$, удобно выразить через $\sin x$ и $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$:

$$3 ((1 — \sin^2 x) — \sin^2 x) — 7 \sin x — 4 = 0.$$

Раскроем скобки:

$$3 (1 — 2 \sin^2 x) — 7 \sin x — 4 = 0.$$

Упростим:

$$3 — 6 \sin^2 x — 7 \sin x — 4 = 0.$$

Собираем все слагаемые:

$$-6 \sin^2 x — 7 \sin x — 1 = 0.$$

Домножаем на -1, чтобы сделать коэффициент при $\sin^2 x$ положительным:

$$6 \sin^2 x + 7 \sin x + 1 = 0.$$

Обозначим $y = \sin x$. Получаем квадратное уравнение:

$$6 y^2 + 7 y + 1 = 0.$$

Находим дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 7^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 49 — 24 = 25.$$

Корни уравнения:

$$y = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6} = \frac{-7 \pm 5}{12}.$$

Первый корень:

$$y_1 = \frac{-7 — 5}{12} = \frac{-12}{12} = -1.$$

Второй корень:

$$y_2 = \frac{-7 + 5}{12} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}.$$

$$x = (-1)^n \arcsin \left(-\frac{1}{6}\right) + \pi n.$$

Ответ:

$$\boxed{ \begin{cases} x = -\frac{\pi}{2} + 2 \pi n, \\ x = (-1)^n \arcsin \left(-\frac{1}{6}\right) + \pi n. \end{cases} }$$

Задача 4:

$1 + \cos x + \cos 2x = 0$

Решение:

Переносим всё в левую сторону:

$$1 + \cos x + \cos 2x = 0.$$

Используем формулу для $\cos 2x$:

$$\cos 2x = 2 \cos^2 x — 1.$$

Подставляем:

$$1 + \cos x + 2 \cos^2 x — 1 = 0,$$

упрощаем:

$$\cos x + 2 \cos^2 x = 0.$$

Перепишем:

$$2 \cos^2 x + \cos x = 0.$$

Вынесем $\cos x$ за скобку:

$$\cos x (2 \cos x + 1) = 0.$$

Получаем два уравнения:

$$\cos x = 0,$$ $$2 \cos x + 1 = 0.$$

Решаем первое у

равнение:

$$\cos x = 0,$$

общий вид решения:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Решаем второе уравнение:

$$2 \cos x = -1,$$ $$\cos x = -\frac{1}{2}.$$

Общее решение уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$ — это:

$$x = \pm \arccos \left(-\frac{1}{2}\right) + 2 \pi n.$$

Поскольку $\arccos(-\frac{1}{2}) = \pi — \arccos \frac{1}{2} = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2 \pi}{3}$, получаем:

$$x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n.$$

Ответ:

$$\boxed{ x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \pm \frac{2 \pi}{3} + 2 \pi n. }$$

Задача 5:

$5 \sin 2x + 4 \cos^3 x — 8 \cos x = 0$

Решение:

Используем формулу для двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Подставляем:

$$5 \cdot 2 \sin x \cos x + 4 \cos^3 x — 8 \cos x = 0,$$

или

$$10 \sin x \cos x + 4 \cos^3 x — 8 \cos x = 0.$$

Вынесем общий множитель $\cos x$:

$$\cos x (10 \sin x + 4 \cos^2 x — 8) = 0.$$

Получаем два уравнения:

$$\cos x = 0,$$ $$10 \sin x + 4 \cos^2 x — 8 = 0.$$

Вспомним, что $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$, подставляем во второе уравнение:

$$10 \sin x + 4 (1 — \sin^2 x) — 8 = 0,$$ $$10 \sin x + 4 — 4 \sin^2 x — 8 = 0,$$ $$10 \sin x — 4 \sin^2 x — 4 = 0.$$

Перепишем:

$$-4 \sin^2 x + 10 \sin x — 4 = 0.$$

Домножим на -1, чтобы упростить:

$$4 \sin^2 x — 10 \sin x + 4 = 0.$$

Обозначим $y = \sin x$, получаем квадратное уравнение:

$$4 y^2 — 10 y + 4 = 0.$$

Находим дискриминант:

$$D = (-10)^2 — 4 \cdot 4 \cdot 4 = 100 — 64 = 36.$$

Корни уравнения:

$$y = \frac{10 \pm 6}{2 \cdot 4} = \frac{10 \pm 6}{8}.$$

Первый корень:

$$y_1 = \frac{10 — 6}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}.$$

Второй корень:

$$y_2 = \frac{10 + 6}{8} = \frac{16}{8} = 2.$$

Поскольку $\sin x$ не может быть равен 2, второй корень отбрасываем.

Решаем первое уравнение:

$$\cos x = 0,$$

что даёт

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n.$$

Решаем второе уравнение:

$$\sin x = \frac{1}{2}.$$

Общее решение уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$:

$$x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ:

$$\boxed{ x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n. }$$