ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 672 Алимов — Подробные Ответы

1. cos3 x sin x — sin3 x cos x =1/4;
2. sin3 x cos x + cos3 x sin x =1/4.

$\cos^3 x \cdot \sin x — \sin^3 x \cdot \cos x = \frac{1}{4}$;

$$\sin x \cdot \cos x \cdot (\cos^2 x — \sin^2 x) = \frac{1}{4};$$ $$\frac{1}{2} \sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{4};$$ $$\frac{1}{4} \sin 4x = \frac{1}{4};$$ $$\sin 4x = 1;$$ $$4x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

$\sin^3 x \cdot \cos x + \cos^3 x \cdot \sin x = \frac{1}{4}$;

$$\sin x \cdot \cos x \cdot (\sin^2 x + \cos^2 x) = \frac{1}{4};$$ $$\frac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cdot \cos x \cdot 1 = \frac{1}{4};$$ $$\frac{1}{2} \sin 2x = \frac{1}{4};$$ $$\sin 2x = \frac{1}{2};$$ $$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

Задача 1:

$$\cos^3 x \cdot \sin x — \sin^3 x \cdot \cos x = \frac{1}{4}.$$

Шаг 1. Вынесем общий множитель

Обратим внимание на левую часть уравнения:

$$\cos^3 x \cdot \sin x — \sin^3 x \cdot \cos x.$$

Можно представить это выражение так:

$$\cos^3 x \sin x — \sin^3 x \cos x = \sin x \cos x (\cos^2 x) — \sin x \cos x (\sin^2 x) = \sin x \cos x (\cos^2 x — \sin^2 x).$$

Таким образом:

$$\cos^3 x \sin x — \sin^3 x \cos x = \sin x \cos x (\cos^2 x — \sin^2 x).$$

Шаг 2. Используем известные тригонометрические тождества

Известно, что:

$$\cos^2 x — \sin^2 x = \cos 2x,$$

а также:

$$2 \sin x \cos x = \sin 2x.$$

Отсюда:

$$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x.$$

Шаг 3. Подставляем выражения

Подставим в уравнение:

$$\sin x \cos x (\cos^2 x — \sin^2 x) = \frac{1}{2} \sin 2x \cdot \cos 2x.$$

Таким образом исходное уравнение становится:

$$\frac{1}{2} \sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{4}.$$

Шаг 4. Упростим левую часть уравнения

Заметим, что:

$$2 \sin a \cos a = \sin 2a,$$

следовательно:

$$\sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x,$$

так как, если в формулу $2 \sin a \cos a = \sin 2a$ положить $a = 2x$, получим:

$$2 \sin 2x \cos 2x = \sin 4x \implies \sin 2x \cos 2x = \frac{1}{2} \sin 4x.$$

Шаг 5. Подставим это обратно

Тогда уравнение принимает вид:

$$\frac{1}{2} \sin 2x \cdot \cos 2x = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \sin 4x = \frac{1}{4} \sin 4x.$$

Исходное равенство:

$$\frac{1}{4} \sin 4x = \frac{1}{4}.$$

Шаг 6. Умножим обе части на 4

$$\sin 4x = 1.$$

Шаг 7. Решаем тригонометрическое уравнение

Значение $\sin \theta = 1$ достигается при:

$$\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Здесь $\theta = 4x$, значит:

$$4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 8. Найдем $x$

Делим обе части на 4:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$\boxed{x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}}.$$

Задача 2:

$$\sin^3 x \cdot \cos x + \cos^3 x \cdot \sin x = \frac{1}{4}.$$

Шаг 1. Вынесем общий множитель

Обратим внимание на левую часть:

$$\sin^3 x \cos x + \cos^3 x \sin x = \sin x \cos x (\sin^2 x + \cos^2 x).$$

Так как:

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1,$$

то:

$$\sin^3 x \cos x + \cos^3 x \sin x = \sin x \cos x \cdot 1 = \sin x \cos x.$$

Шаг 2. Подставим в уравнение

$$\sin x \cos x = \frac{1}{4}.$$

Шаг 3. Используем формулу для двойного угла

$$2 \sin x \cos x = \sin 2x,$$

значит

$$\sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin 2x.$$

Шаг 4. Подставим

$$\frac{1}{2} \sin 2x = \frac{1}{4}.$$

Шаг 5. Умножим обе части на 2

$$\sin 2x = \frac{1}{2}.$$

Шаг 6. Решаем уравнение

Общее решение уравнения $\sin \alpha = \frac{1}{2}$ — это:

$$\alpha = (-1)^n \arcsin \frac{1}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Поскольку $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, то:

$$2x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Шаг 7. Найдем $x$

Делим обе части на 2:

$$x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}.$$

Ответ:

$$\boxed{x = (-1)^n \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}}.$$