ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 671 Алимов — Подробные Ответы

1. sin(x+пи/6) + cos(x+пи/3) = 1+cos2x;
2. sin(x-пи/4) + cos(x-пи/4) = sin2x.

1)

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 1 + \cos 2x;$$ $$\sin x \cdot \cos \frac{\pi}{6} + \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos x + \cos x \cdot \cos \frac{\pi}{3} — \sin x \cdot \sin \frac{\pi}{3} = 1 + \cos 2x;$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \cos x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = \cos^2 x + \sin^2 x + \cos^2 x — \sin^2 x;$$ $$\cos x = 2 \cos^2 x;$$

Пусть $y = \cos x$, тогда:

$$y = 2 y^2;$$ $$2 y^2 — y = 0;$$ $$y(2 y — 1) = 0;$$ $$y_1 = 0 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{1}{2};$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\cos x = \frac{1}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2 \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n; \quad \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n.}$$

2)

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) + \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \sin 2x;$$ $$\sin x \cdot \cos \frac{\pi}{4} — \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x + \cos x \cdot \cos \frac{\pi}{4} + \sin x \cdot \sin \frac{\pi}{4} = \sin 2x;$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = 2 \sin x \cdot \cos x;$$ $$\sqrt{2} \sin x = 2 \sin x \cdot \cos x;$$ $$\sqrt{2} \sin x — 2 \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$\sin x \cdot (\sqrt{2} — 2 \cos x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sqrt{2} — 2 \cos x = 0;$$ $$2 \cos x = \sqrt{2};$$ $$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n;$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle \pi n;\pm \frac{\pi }{4}+2\pi n\mathrm{.}}}$$

1) Уравнение:

$$\sin \left( x + \frac{\pi}{6} \right) + \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = 1 + \cos 2x.$$

Шаг 1: Раскроем суммы аргументов с помощью формул сложения для синуса и косинуса.

• Формула синуса суммы:

$$\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B,$$

• Формула косинуса суммы:

$$\cos (A + B) = \cos A \cos B — \sin A \sin B.$$

Подставим:

$$\sin x \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \sin \frac{\pi}{6} + \cos x \cos \frac{\pi}{3} — \sin x \sin \frac{\pi}{3} = 1 + \cos 2x.$$

Шаг 2: Подставим известные значения тригонометрических функций:

$$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Получаем:

$$\sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} + \cos x \cdot \frac{1}{2} — \sin x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 + \cos 2x.$$

Шаг 3: Упростим левую часть:

• Слагаемые с $\sin x$:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x — \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x = 0,$$

• Слагаемые с $\cos x$:

$$\frac{1}{2} \cos x + \frac{1}{2} \cos x = \cos x.$$

Значит, левая часть уравнения сокращается до:

$$\cos x.$$

Шаг 4: Запишем правую часть с использованием формулы косинуса двойного угла:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x.$$

Также вспомним, что

$$\sin^2 x + \cos^2 x = 1.$$

Запишем правую часть:

$$1 + \cos 2x = 1 + (\cos^2 x — \sin^2 x) = (\sin^2 x + \cos^2 x) + (\cos^2 x — \sin^2 x) = 2 \cos^2 x.$$

Шаг 5: Итоговое уравнение после упрощения:

$$\cos x = 2 \cos^2 x.$$

Шаг 6: Введём обозначение:

Пусть

$$y = \cos x.$$

Тогда уравнение:

$$y = 2 y^2,$$

или

$$2 y^2 — y = 0.$$

Шаг 7: Решим квадратное уравнение:

$$y (2 y — 1) = 0.$$

Значит,

$$y_1 = 0, \quad y_2 = \frac{1}{2}.$$

Шаг 8: Решаем уравнения для $x$:

Если $y = \cos x = 0$, то

$$x = \arccos 0 + 2 \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n,$$

так как $\cos x$ равен нулю при $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$.

Если $y = \cos x = \frac{1}{2}$, то

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2 \pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n,$$

поскольку $\cos x = \frac{1}{2}$ при $x = \frac{\pi}{3} + 2 \pi n$ и $x = -\frac{\pi}{3} + 2 \pi n$.

Итог для первого уравнения:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2) Уравнение:

$$\sin \left( x — \frac{\pi}{4} \right) + \cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \sin 2x.$$

Шаг 1: Раскроем суммы аргументов с помощью формул сложения:

$$\sin x \cos \frac{\pi}{4} — \cos x \sin \frac{\pi}{4} + \cos x \cos \frac{\pi}{4} + \sin x \sin \frac{\pi}{4} = \sin 2x.$$

Шаг 2: Подставим значения тригонометрических функций:

$$\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Тогда:

$$\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sin 2x.$$

Шаг 3: Упростим левую часть:

• Слагаемые с $\cos x$:

$$— \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = 0,$$

• Слагаемые с $\sin x$:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \sqrt{2} \sin x.$$

Итого левая часть:

$$\sqrt{2} \sin x.$$

Шаг 4: Запишем правую часть с помощью формулы двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Шаг 5: Итоговое уравнение:

$$\sqrt{2} \sin x = 2 \sin x \cos x.$$

Шаг 6: Переносим всё в одну часть:

$$\sqrt{2} \sin x — 2 \sin x \cos x = 0.$$

Шаг 7: Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x \left( \sqrt{2} — 2 \cos x \right) = 0.$$

Шаг 8: Решаем полученное произведение:

Произведение равно нулю, значит

$$\sin x = 0,$$

или

$$\sqrt{2} — 2 \cos x = 0.$$

Шаг 9: Решаем первое уравнение:

$$\sin x = 0,$$

решение:

$$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 10: Решаем второе уравнение:

$$\sqrt{2} — 2 \cos x = 0,$$

или

$$2 \cos x = \sqrt{2} \implies \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}.$$

Шаг 11: Решение второго уравнения:

$$x = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Итог для второго уравнения:

$$x = \pi n; \quad x = \pm \frac{\pi}{4} + 2 \pi n.$$