ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 669 Алимов — Подробные Ответы

1. 3 sin2 x + sin x cos x — 2 cos2 x = 0;
2. 2 sin2 x + 3 sin x cos x — 2 cos2 x = 0.

1.

$$3 \sin^2 x + \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0 \quad \bigg| : \cos^2 x;$$ $$3 \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x — 2 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$3 y^2 + y — 2 = 0;$$ $$D = 1^2 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 1 + 24 = 25,$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = -1, \quad y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3};$$

Первое уравнение:

$$\operatorname{tg} x = -1;$$ $$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\operatorname{tg} x = \frac{2}{3};$$ $$x = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n;$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n.$$

2.

$$2 \sin^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0 \quad \bigg| : \cos^2 x;$$ $$2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x — 2 = 0;$$

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$2 y^2 + 3 y — 2 = 0;$$ $$D = 3^2 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 9 + 16 = 25,$$

тогда:

$$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = -2, \quad y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2};$$

Первое уравнение:

$$\operatorname{tg} x = -2;$$ $$x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\operatorname{tg} x = \frac{1}{2};$$ $$x = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n;$$

Ответ:

$$-\operatorname{arctg} 2 + \pi n; \quad \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n.$$

1) Уравнение:

$$3 \sin^2 x + \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0.$$

Шаг 1: Цель — выразить уравнение через тангенс $\operatorname{tg} x$.

Для этого удобно разделить все слагаемые на $\cos^2 x$, при условии $\cos x \neq 0$, чтобы перейти к выражению через $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Шаг 2: Делим обе части уравнения на $\cos^2 x$:

$$\frac{3 \sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{\sin x \cos x}{\cos^2 x} — \frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0,$$

то есть

$$3 \operatorname{tg}^2 x + \operatorname{tg} x — 2 = 0.$$

Шаг 3: Обозначаем $y = \operatorname{tg} x$, получаем квадратное уравнение:

$$3 y^2 + y — 2 = 0.$$

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение.

Формула решения квадратного уравнения $a y^2 + b y + c = 0$:

$$y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 — 4 a c}}{2 a}.$$

Здесь:
$a = 3$,
$b = 1$,
$c = -2$.

Шаг 5: Вычисляем дискриминант:

$$D = b^2 — 4 a c = 1^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25.$$

Шаг 6: Находим корни:

$$y_1 = \frac{-1 — 5}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1,$$ $$y_2 = \frac{-1 + 5}{2 \cdot 3} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.$$

Шаг 7: Возвращаемся к переменной $x$:

• Первый корень:

$$\operatorname{tg} x = -1,$$

общее решение уравнения:

$$x = \operatorname{arctg}(-1) + \pi n = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

• Второй корень:

$$\operatorname{tg} x = \frac{2}{3},$$

общее решение:

$$x = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Итоговый ответ для пункта 1:

$$\boxed{ x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \operatorname{arctg} \frac{2}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. }$$

2) Уравнение:

$$2 \sin^2 x + 3 \sin x \cdot \cos x — 2 \cos^2 x = 0.$$

Шаг 1: Аналогично первому пункту, разделим обе части на $\cos^2 x$ (при $\cos x \neq 0$):

$$\frac{2 \sin^2 x}{\cos^2 x} + \frac{3 \sin x \cos x}{\cos^2 x} — \frac{2 \cos^2 x}{\cos^2 x} = 0,$$

что даёт:

$$2 \operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x — 2 = 0.$$

Шаг 2: Обозначаем $y = \operatorname{tg} x$:

$$2 y^2 + 3 y — 2 = 0.$$

Шаг 3: Решаем квадратное уравнение:

Здесь:
$a=2$, $b=3$, $c=-2$.

Шаг 4: Вычисляем дискриминант:

$$D = b^2 — 4 a c = 3^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25.$$

Шаг 5: Находим корни:

$$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 2} = \frac{-8}{4} = -2,$$ $$y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.$$

Шаг 6: Возвращаемся к $x$:

• Первый корень:

$$\operatorname{tg} x = -2,$$

решение:

$$x = \operatorname{arctg}(-2) + \pi n = -\operatorname{arctg} 2 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

• Второй корень:

$$\operatorname{tg} x = \frac{1}{2},$$

решение:

$$x = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Итоговый ответ для пункта 2:

$$\boxed{ x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi n; \quad x = \operatorname{arctg} \frac{1}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. }$$