ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 668 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (668—675).

1. sin 2х + 2 cos 2х = 1;
2. cos 2х + 3 sin 2х = 3.

1.

$$\sin 2x + 2 \cos 2x = 1;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x + 2(\cos^2 x — \sin^2 x) = \cos^2 x — \sin^2 x;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos^2 x — \cos^2 x — 2 \sin^2 x — \sin^2 x = 0;$$ $$2 \sin x \cdot \cos x + \cos^2 x — 3 \sin^2 x = 0 \quad \bigg| : \cos^2 x;$$ $$2 \tan x + 1 — 3 \tan^2 x = 0;$$

Пусть $y = \tan x$, тогда:

$$2y + 1 — 3y^2 = 0;$$ $$3y^2 — 2y — 1 = 0;$$ $$D = (-2)^2 + 4 \cdot 3 \cdot 1 = 4 + 12 = 16,$$

тогда:

$$y_1 = \frac{2 — 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = 1;$$

Первое уравнение:

$$\tan x = -\frac{1}{3};$$ $$x = -\arctan \frac{1}{3} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\tan x = 1;$$ $$x = \arctan 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$-\arctan \frac{1}{3} + \pi n; \quad \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

2.

$$\cos 2x + 3 \sin 2x = 3;$$ $$\cos^2 x — \sin^2 x + 3 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x = 3(\cos^2 x + \sin^2 x);$$ $$\cos^2 x — 3 \cos^2 x — \sin^2 x — 3 \sin^2 x + 6 \sin x \cdot \cos x = 0;$$ $$-2 \cos^2 x — 4 \sin^2 x + 6 \sin x \cdot \cos x = 0 \quad \bigg| : \cos^2 x;$$ $$-2 — 4 \tan^2 x + 6 \tan x = 0;$$

Пусть $y = \tan x$, тогда:

$$-2 — 4 y^2 + 6 y = 0;$$ $$2 y^2 — 3 y + 1 = 0;$$ $$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1,$$

тогда:

$$y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = 1;$$

Первое уравнение:

$$\tan x = \frac{1}{2};$$ $$x = \arctan \frac{1}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\tan x = 1;$$ $$x = \arctan 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ:

$$\arctan \frac{1}{2} + \pi n; \quad \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

1) Уравнение:

$$\sin 2x + 2 \cos 2x = 1$$

Шаг 1: Используем формулы двойного угла.

• Формула для синуса двойного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

• Формула для косинуса двойного угла:

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x$$

Подставим в исходное уравнение:

$$2 \sin x \cos x + 2(\cos^2 x — \sin^2 x) = 1.$$

Шаг 2: Переносим всё в левую часть для удобства решения.

$$2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x — 2 \sin^2 x — 1 = 0.$$

Шаг 3: Для упрощения, представим правую часть как разницу квадратов и сгруппируем слагаемые.

Вспомним, что $1 = \cos^2 x + \sin^2 x$ — это основное тригонометрическое тождество.

Перепишем уравнение так:

$$2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x — 2 \sin^2 x — (\cos^2 x + \sin^2 x) = 0.$$

Раскроем скобки:

$$2 \sin x \cos x + 2 \cos^2 x — 2 \sin^2 x — \cos^2 x — \sin^2 x = 0.$$

Шаг 4: Сгруппируем подобные члены.

$$2 \sin x \cos x + (2 \cos^2 x — \cos^2 x) + (-2 \sin^2 x — \sin^2 x) = 0,$$

что упрощается в:

$$2 \sin x \cos x + \cos^2 x — 3 \sin^2 x = 0.$$

Шаг 5: Разделим уравнение на $\cos^2 x$ (при условии, что $\cos x \neq 0$) для перехода к тангенсу.

$$\frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x} — \frac{3 \sin^2 x}{\cos^2 x} = 0,$$

то есть

$$2 \tan x + 1 — 3 \tan^2 x = 0.$$

Шаг 6: Обозначим $y = \tan x$, тогда получаем квадратное уравнение:

$$2 y + 1 — 3 y^2 = 0,$$

или

$$3 y^2 — 2 y — 1 = 0.$$

Шаг 7: Решаем квадратное уравнение по формуле:

Дискриминант:

$$D = (-2)^2 — 4 \cdot 3 \cdot (-1) = 4 + 12 = 16.$$

Корни:

$$y_1 = \frac{2 — 4}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3},$$ $$y_2 = \frac{2 + 4}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1.$$

Шаг 8: Возвращаемся к $\tan x$:

• Первый корень:

$$\tan x = -\frac{1}{3}.$$

Общее решение тангенса:

$$x = \arctan \left(-\frac{1}{3}\right) + \pi n = -\arctan \frac{1}{3} + \pi n,$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

• Второй корень:

$$\tan x = 1.$$

Общее решение:

$$x = \arctan 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Итоговый ответ для пункта 1:

$$\boxed{ x = -\arctan \frac{1}{3} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. }$$

2) Уравнение:

$$\cos 2x + 3 \sin 2x = 3.$$

Шаг 1: Подставим формулы двойного угла.

$$\cos 2x = \cos^2 x — \sin^2 x,$$ $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Подставляем:

$$\cos^2 x — \sin^2 x + 3 \cdot 2 \sin x \cos x = 3.$$

Шаг 2: Запишем в виде:

$$\cos^2 x — \sin^2 x + 6 \sin x \cos x = 3.$$

Шаг 3: Используем основное тождество $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ для выражения правой части:

$$3 = 3(\cos^2 x + \sin^2 x).$$

Переносим всё в левую часть:

$$\cos^2 x — \sin^2 x + 6 \sin x \cos x — 3 \cos^2 x — 3 \sin^2 x = 0.$$

Шаг 4: Сгруппируем члены:

$$\cos^2 x — 3 \cos^2 x — \sin^2 x — 3 \sin^2 x + 6 \sin x \cos x = 0,$$

что равно

$$-2 \cos^2 x — 4 \sin^2 x + 6 \sin x \cos x = 0.$$

Шаг 5: Разделим на $\cos^2 x$ (при условии $\cos x \neq 0$):

$$-2 — 4 \tan^2 x + 6 \tan x = 0.$$

Шаг 6: Обозначим $y = \tan x$:

$$-2 — 4 y^2 + 6 y = 0,$$

или

$$2 y^2 — 3 y + 1 = 0.$$

Шаг 7: Решаем квадратное уравнение:

Дискриминант:

$$D = (-3)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 — 8 = 1.$$

Корни:

$$y_1 = \frac{3 — 1}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2},$$ $$y_2 = \frac{3 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{4}{4} = 1.$$

Шаг 8: Возвращаемся к $\tan x$:

• Первый корень:

$$\tan x = \frac{1}{2},$$

общий вид решения:

$$x = \arctan \frac{1}{2} + \pi n,$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

• Второй корень:

$$\tan x = 1,$$

решение:

$$x = \arctan 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Итоговый ответ для пункта 2:

$$\boxed{ x = \arctan \frac{1}{2} + \pi n, \quad x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}. }$$