ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 667 Алимов — Подробные Ответы

1. sin (4 arcsin 1);
2. sin(3arcsin корень 3/2);
3. cos (6 arcsin 1);
4. tg(4arcsin корень 2/2).

1. $\sin(4 \arcsin 1) = \sin \left( 4 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \sin 2\pi = \sin 0 = 0$;
2. $\sin \left( 3 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \sin \left( 3 \cdot \frac{\pi}{3} \right) = \sin \pi = 0$;
3. $\cos(6 \arcsin 1) = \cos \left( 6 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \cos (3\pi) = \cos \pi = -1$;
4. $\operatorname{tg} \left( 4 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \operatorname{tg} \left( 4 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \pi = 0$

1) $\sin(4 \arcsin 1)$

Шаг 1: Найдем значение $\arcsin 1$.

• По определению, $\arcsin x$ — это угол $\theta$, такой что $\sin \theta = x$ и $\theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$.
• Поскольку $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, то $\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$.

Шаг 2: Подставляем в выражение:

$$\sin(4 \arcsin 1) = \sin\left(4 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \sin 2\pi.$$

Шаг 3: Значение $\sin 2\pi$:

• Напомним, что синус — это значение ординаты точки на единичной окружности.
• Угол $2\pi$ соответствует полному обороту на окружности, возвращаясь к точке $(1,0)$.
• Поэтому $\sin 2\pi = 0$.

Шаг 4: Альтернативно, можно заметить, что $\sin$ — периодическая функция с периодом $2\pi$, значит:

$$\sin 2\pi = \sin 0 = 0.$$

Ответ для пункта 1:

$$\boxed{0}.$$

2) $\sin \left( 3 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$

Шаг 1: Найдем $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$.

• Из известной тригонометрии: $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Угол $\frac{\pi}{3}$ находится в диапазоне функции арксинуса, значит

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

Шаг 2: Подставляем в выражение:

$$\sin \left( 3 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \sin \left( 3 \cdot \frac{\pi}{3} \right) = \sin \pi.$$

Шаг 3: Значение $\sin \pi$:

• Угол $\pi$ соответствует точке на единичной окружности $(-1, 0)$.
• Ордината этой точки равна 0, значит

$$\sin \pi = 0.$$

Ответ для пункта 2:

$$\boxed{0}.$$

3) $\cos(6 \arcsin 1)$

Шаг 1: Найдем $\arcsin 1$, как в первом пункте:

$$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 2: Подставляем:

$$\cos(6 \arcsin 1) = \cos\left(6 \cdot \frac{\pi}{2}\right) = \cos 3\pi.$$

Шаг 3: Найдем $\cos 3\pi$.

• Угол $3\pi$ — это 1.5 полного оборота (поскольку полный оборот $2\pi$).
• Можно записать $3\pi = 2\pi + \pi$.
• Так как косинус периодичен с периодом $2\pi$, получаем:

$$\cos 3\pi = \cos \pi.$$

Шаг 4: Значение $\cos \pi$:

• Точка на единичной окружности соответствует $(-1, 0)$, $\cos \pi = -1$.

Ответ для пункта 3:

$$\boxed{-1}.$$

4) $\operatorname{tg} \left( 4 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

(Здесь под $\operatorname{tg}$ понимается тангенс, то есть $\tan$.)

Шаг 1: Найдем $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Из стандартных значений тригонометрии: $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит диапазону функции арксинуса, значит

$$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2: Подставим:

$$\operatorname{tg} \left( 4 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \operatorname{tg} \left( 4 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \operatorname{tg} \pi.$$

Шаг 3: Значение $\operatorname{tg} \pi$:

• Тангенс — это отношение синуса к косинусу:

$$\tan \pi = \frac{\sin \pi}{\cos \pi} = \frac{0}{-1} = 0.$$

Ответ для пункта 4:

$$\boxed{0}.$$