ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 665 Алимов — Подробные Ответы

1. sin Зх = sin 5x;
2. cos2 3x — cos 3x cos 5x = 0;
3. cos x = cos 3x;
4. sin x sin 5x — sin2 5x = 0.

$\sin 3x = \sin 5x$;
$\sin 5x — \sin 3x = 0$;
$2 \cdot \sin \frac{5x — 3x}{2} \cdot \cos \frac{5x + 3x}{2} = 0$;
$\sin \frac{2x}{2} \cdot \cos \frac{8x}{2} = 0$;
$\sin x \cdot \cos 4x = 0$;

Первое уравнение:
$\sin x = 0$;
$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;

Второе уравнение:
$\cos 4x = 0$;
$4x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$;

Ответ: $\pi n$; $\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$.

$\cos^2 3x — \cos 3x \cdot \cos 5x = 0$;
$\cos 3x \cdot (\cos 3x — \cos 5x) = 0$;
$\cos 3x \cdot (-2) \cdot \sin \frac{3x + 5x}{2} \cdot \sin \frac{3x — 5x}{2} = 0$;
$-2 \cdot \cos 3x \cdot \sin \frac{8x}{2} \cdot \sin \left( -\frac{2x}{2} \right) = 0$;
$2 \cdot \cos 3x \cdot \sin 4x \cdot \sin x = 0$;

Первое уравнение:
$\cos 3x = 0$;
$3x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$;

Второе уравнение:
$\sin 4x = 0$;

$\cos x = \cos 3x$;
$\cos x — \cos 3x = 0$;
$-2 \cdot \sin \frac{x + 3x}{2} \cdot \sin \frac{x — 3x}{2} = 0$;
$-2 \cdot \sin \frac{4x}{2} \cdot \sin \left( -\frac{2x}{2} \right) = 0$;
$2 \cdot \sin 2x \cdot \sin x = 0$;

Первое уравнение:
$\sin 2x = 0$;
$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
$x = \frac{1}{2} \cdot \pi n = \frac{\pi n}{2}$;

Второе уравнение:
$\sin x = 0$;
$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi n}{2}$.

$\sin x \cdot \sin 5x — \sin^2 5x = 0$;
$\sin 5x \cdot (\sin x — \sin 5x) = 0$;
$\sin 5x \cdot 2 \cdot \sin \frac{x — 5x}{2} \cdot \cos \frac{x + 5x}{2} = 0$;
$2 \cdot \sin 5x \cdot \sin \left( -\frac{4x}{2} \right) \cdot \cos \frac{6x}{2} = 0$;
$-2 \cdot \sin 5x \cdot \sin 2x \cdot \cos 3x = 0$;

Первое уравнение:
$\sin 5x = 0$;
$5x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
$x = \frac{1}{5} \cdot \pi n = \frac{\pi n}{5}$;

Второе уравнение:
$\sin 2x = 0$;
$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
$x = \frac{1}{2} \cdot \pi n = \frac{\pi n}{2}$;

Третье уравнение:
$\cos 3x = 0$;
$3x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;
$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$;

Ответ: $\frac{\pi n}{5}$; $\frac{\pi n}{2}$; $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$.

1) $\sin 3x = \sin 5x$

Шаг 1. Переносим все в одну сторону:

$$\sin 5x — \sin 3x = 0$$

Шаг 2. Используем формулу разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A — B}{2}$$

Подставляем:

$$2 \cos \frac{5x + 3x}{2} \sin \frac{5x — 3x}{2} = 0$$

Шаг 3. Упрощаем аргументы:

$$2 \cos \frac{8x}{2} \sin \frac{2x}{2} = 2 \cos 4x \sin x = 0$$

Шаг 4. Так как произведение равно нулю, хотя бы один множитель равен нулю:

1. $\sin x = 0$
2. $\cos 4x = 0$

Шаг 5. Решаем каждое уравнение:

• $\sin x = 0$

Общее решение:

$$x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

• $\cos 4x = 0$

Общее решение:

$$4x = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Делим обе части на 4:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ для задачи 1:

$$x = \pi n; \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{4}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2) $\cos^2 3x — \cos 3x \cdot \cos 5x = 0$

Шаг 1. Вынесем общий множитель:

$$\cos 3x (\cos 3x — \cos 5x) = 0$$

Шаг 2. Разложим разность косинусов с помощью формулы:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A — B}{2}$$

Подставляем:

$$\cos 3x \cdot \left( -2 \sin \frac{3x + 5x}{2} \sin \frac{3x — 5x}{2} \right) = 0$$

Шаг 3. Упрощаем аргументы:

$$\cos 3x \cdot (-2) \sin 4x \sin (-x) = 0$$

Шаг 4. Используем, что $\sin(-x) = -\sin x$:

$$\cos 3x \cdot (-2) \sin 4x \cdot (-\sin x) = 2 \cos 3x \sin 4x \sin x = 0$$

Шаг 5. Продукт равен нулю, значит равен нулю хотя бы один множитель:

• $\cos 3x = 0$
• $\sin 4x = 0$
• $\sin x = 0$

Шаг 6. Решаем каждое уравнение:

• $\cos 3x = 0$

$$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

• $\sin 4x = 0$

$$4x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{4}$$

• $\sin x = 0$

$$x = \pi n$$

Ответ для задачи 2:

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}; \quad x = \frac{\pi n}{4}; \quad x = \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

3) $\cos x = \cos 3x$

Шаг 1. Переносим всё в одну сторону:

$$\cos x — \cos 3x = 0$$

Шаг 2. Используем формулу разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \sin \frac{A + B}{2} \sin \frac{A — B}{2}$$

Подставляем:

$$-2 \sin \frac{x + 3x}{2} \sin \frac{x — 3x}{2} = 0$$

Шаг 3. Упрощаем аргументы:

$$-2 \sin 2x \sin (-x) = 0$$

Шаг 4. Используем $\sin (-x) = -\sin x$:

$$-2 \sin 2x (-\sin x) = 2 \sin 2x \sin x = 0$$

Шаг 5. Произведение равно нулю, значит хотя бы один множитель равен нулю:

• $\sin 2x = 0$
• $\sin x = 0$

Шаг 6. Решаем уравнения:

• $\sin 2x = 0$:

$$2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

• $\sin x = 0$:

$$x = \pi n$$

Шаг 7. Поскольку $x = \pi n$ — частный случай $x = \frac{\pi n}{2}$ (для чётных $n$), общий ответ:

$$x = \frac{\pi n}{2}$$

4) $\sin x \cdot \sin 5x — \sin^2 5x = 0$

Шаг 1. Вынесем общий множитель:

$$\sin 5x (\sin x — \sin 5x) = 0$$

Шаг 2. Используем формулу разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cos \frac{A + B}{2} \sin \frac{A — B}{2}$$

Подставляем:

$$\sin 5x \cdot 2 \cos \frac{x + 5x}{2} \sin \frac{x — 5x}{2} = 0$$

Шаг 3. Упрощаем аргументы:

$$\sin 5x \cdot 2 \cos 3x \sin (-2x) = 0$$

Шаг 4. Используем $\sin (-\alpha) = -\sin \alpha$:

$$\sin 5x \cdot 2 \cos 3x (-\sin 2x) = -2 \sin 5x \sin 2x \cos 3x = 0$$

Шаг 5. Уравнение равно нулю, значит хотя бы один множитель равен нулю:

• $\sin 5x = 0$
• $\sin 2x = 0$
• $\cos 3x = 0$

Шаг 6. Решаем каждое уравнение:

• $\sin 5x = 0$

$$5x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{5}$$

• $\sin 2x = 0$

$$2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}$$

• $\cos 3x = 0$

$$3x = \frac{\pi}{2} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ для задачи 4:

$$x = \frac{\pi n}{5}; \quad x = \frac{\pi n}{2}; \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$