ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 663 Алимов — Подробные Ответы

1. 2 sin 2x = 3 cos 2x;
2. 4 sin 3x + 5 cos3x = 0.

1) $2 \sin 2x = 3 \cos 2x \quad | : \cos 2x$;

$2 \operatorname{tg} 2x = 3$;

$\operatorname{tg} 2x = \frac{3}{2}$;

$2x = \arctg \frac{3}{2} + \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \left( \arctg \frac{3}{2} + \pi n \right) = \frac{1}{2} \arctg \frac{3}{2} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{1}{2} \arctg \frac{3}{2} + \frac{\pi n}{2}$.

2) $4 \sin 3x + 5 \cos 3x = 0 \quad | : \cos 3x$;

$4 \operatorname{tg} 3x + 5 = 0$;

$4 \operatorname{tg} 3x = -5$;

$\operatorname{tg} 3x = -\frac{5}{4}$;

$3x = -\arctg \frac{5}{4} + \pi n$;

$x = \frac{1}{3} \left( -\arctg \frac{5}{4} + \pi n \right) = -\frac{1}{3} \arctg \frac{5}{4} + \frac{\pi n}{3}$;

Ответ: $-\frac{1}{3} \arctg \frac{5}{4} + \frac{\pi n}{3}$.

$$\boxed{ \begin{aligned} &1) \frac{1}{2} \arctg \frac{3}{2} + \frac{\pi n}{2}, \\ &2) -\frac{1}{3} \arctg \frac{5}{4} + \frac{\pi n}{3}. \end{aligned} }$$

1) $2 \sin 2x = 3 \cos 2x$

Шаг 1: Начальное уравнение:

$$2 \sin 2x = 3 \cos 2x$$

Чтобы решить это уравнение, разделим обе части на $\cos 2x$, при условии, что $\cos 2x \neq 0$:

$$\frac{2 \sin 2x}{\cos 2x} = \frac{3 \cos 2x}{\cos 2x} \quad \Rightarrow \quad 2 \frac{\sin 2x}{\cos 2x} = 3$$

Шаг 2: Замена тригонометрического отношения на тангенс:

$$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$$

Поэтому:

$$2 \tan 2x = 3$$

Шаг 3: Изолируем тангенс:

$$\tan 2x = \frac{3}{2}$$

Шаг 4: Решение уравнения с тангенсом:

Общее решение уравнения $\tan \alpha = t$ записывается как:

$$\alpha = \arctan t + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Для нашего уравнения:

$$2x = \arctan \frac{3}{2} + \pi n$$

Шаг 5: Найдём $x$:

Поделим обе части уравнения на 2:

$$x = \frac{1}{2} \left( \arctan \frac{3}{2} + \pi n \right) = \frac{1}{2} \arctan \frac{3}{2} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x = \frac{1}{2} \arctan \frac{3}{2} + \frac{\pi n}{2}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2) $4 \sin 3x + 5 \cos 3x = 0$

Шаг 1: Исходное уравнение:

$$4 \sin 3x + 5 \cos 3x = 0$$

Для удобства разделим обе части на $\cos 3x$, предполагая, что $\cos 3x \neq 0$:

$$\frac{4 \sin 3x}{\cos 3x} + \frac{5 \cos 3x}{\cos 3x} = 0 \quad \Rightarrow \quad 4 \tan 3x + 5 = 0$$

Шаг 2: Приведём к уравнению относительно тангенса:

$$4 \tan 3x + 5 = 0$$

Шаг 3: Изолируем тангенс:

$$4 \tan 3x = -5 \quad \Rightarrow \quad \tan 3x = -\frac{5}{4}$$

Шаг 4: Общее решение уравнения с тангенсом:

$$3x = \arctan \left(-\frac{5}{4}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Поскольку $\arctan(-a) = -\arctan a$, можно записать:

$$3x = -\arctan \frac{5}{4} + \pi n$$

Шаг 5: Найдём $x$:

Поделим обе части на 3:

$$x = \frac{1}{3} \left(-\arctan \frac{5}{4} + \pi n \right) = -\frac{1}{3} \arctan \frac{5}{4} + \frac{\pi n}{3}$$

Ответ:

$$x = -\frac{1}{3} \arctan \frac{5}{4} + \frac{\pi n}{3}, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Итоговый ответ:

$$\boxed{ \begin{aligned} &1) \quad x = \frac{1}{2} \arctan \frac{3}{2} + \frac{\pi n}{2}, \\ &2) \quad x = -\frac{1}{3} \arctan \frac{5}{4} + \frac{\pi n}{3}. \end{aligned} }$$