ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 662 Алимов — Подробные Ответы

1. tg2 x + 3 tg x = 0;
2. 2tg2 x — tg x — 3 = 0;
3. tg x — 12 ctg x + 1 = 0;
4. tg x + ctg x = 2.

1) $\operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$y^2 + 3y = 0$;

$y(y + 3) = 0$;

$y_1 = 0$ и $y_2 = -3$;

Первое уравнение:

$\operatorname{tg} x = 0$;

$x = \arctg 0 + \pi n = \pi n$;

Второе уравнение:

$\operatorname{tg} x = -3$;

$x = \arctg (-3) + \pi n = -\arctg 3 + \pi n$;

Ответ: $\pi n; -\arctg 3 + \pi n$.

2) $2 \operatorname{tg}^2 x — \operatorname{tg} x — 3 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$2y^2 — y — 3 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 1 + 24 = 25$, тогда:

$y_1 = \frac{1 — 5}{2 \cdot 2} = -1$ и $y_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{3}{2}$;

Первое уравнение:

$\operatorname{tg} x = -1$;

$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;

Второе уравнение:

$\operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$;

$x = \arctg \frac{3}{2} + \pi n$;

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n; \arctg \frac{3}{2} + \pi n$.

3) $\operatorname{tg} x — 12 \operatorname{ctg} x + 1 = 0$;

$\operatorname{tg} x — \frac{12}{\operatorname{tg} x} + 1 = 0$;

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$y — \frac{12}{y} + 1 = 0 \quad | \cdot y$;

$y^2 + y — 12 = 0$;

$D = 1^2 + 4 \cdot 12 = 1 + 48 = 49$, тогда:

$y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = -4$ и $y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$;

Первое уравнение:

$\operatorname{tg} x = -4$;

$x = -\arctg 4 + \pi n$;

Второе уравнение:

$\operatorname{tg} x = 3$;

$x = \arctg 3 + \pi n$;

Ответ: $-\arctg 4 + \pi n; \arctg 3 + \pi n$.

4) $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = 2$;

$\operatorname{tg} x + \frac{1}{\operatorname{tg} x} — 2 = 0$;

$\operatorname{tg}^2 x + 1 — 2 \operatorname{tg} x = 0 \quad | \cdot \operatorname{tg} x$ — исправлено;

$\operatorname{tg}^2 x — 2 \operatorname{tg} x + 1 = 0$;

$(\operatorname{tg} x — 1)^2 = 0$;

$\operatorname{tg} x — 1 = 0$;

$\operatorname{tg} x = 1$;

$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{4} + \pi n$.

1) $\operatorname{tg}^2 x + 3 \operatorname{tg} x = 0$

Шаг 1: Введём замену:

Пусть $y = \operatorname{tg} x$. Тогда уравнение примет вид:

$$y^2 + 3y = 0$$

Шаг 2: Решаем квадратное уравнение:

Вынесем общий множитель $y$:

$$y(y + 3) = 0$$

Отсюда:

$$y_1 = 0, \quad y_2 = -3$$

Шаг 3: Возвращаемся к переменной $x$:

• Для $y_1 = 0$:

$$\operatorname{tg} x = 0$$

Известно, что тангенс равен нулю при углах $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

То есть:

$$x = \arctg 0 + \pi n = \pi n$$

• Для $y_2 = -3$:

$$\operatorname{tg} x = -3$$

Тангенс отрицателен, значит:

$$x = \arctg(-3) + \pi n = -\arctg 3 + \pi n$$

(Поскольку $\arctg(-a) = -\arctg a$)

Ответ:

$$x = \pi n; \quad x = -\arctg 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

2) $2 \operatorname{tg}^2 x — \operatorname{tg} x — 3 = 0$

Шаг 1: Введём замену:

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$2y^2 — y — 3 = 0$$

Шаг 2: Найдём дискриминант квадратного уравнения:

$$D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25$$

Шаг 3: Найдём корни:

$$y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 5}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 5}{4}$$ $$y_1 = \frac{1 — 5}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$ $$y_2 = \frac{1 + 5}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Шаг 4: Возвращаемся к переменной $x$:

• Для $y_1 = -1$:

$$\operatorname{tg} x = -1$$

Тангенс равен $-1$ при углах:

$$x = -\arctg 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

• Для $y_2 = \frac{3}{2}$:

$$\operatorname{tg} x = \frac{3}{2}$$ $$x = \arctg \frac{3}{2} + \pi n$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = \arctg \frac{3}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

3) $\operatorname{tg} x — 12 \operatorname{ctg} x + 1 = 0$

Шаг 1: Перепишем выражение с $\operatorname{ctg} x$:

$$\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$$

Подставим:

$$\operatorname{tg} x — \frac{12}{\operatorname{tg} x} + 1 = 0$$

Шаг 2: Введём замену:

Пусть $y = \operatorname{tg} x$, тогда уравнение:

$$y — \frac{12}{y} + 1 = 0$$

Шаг 3: Умножим обе части уравнения на $y$ (при $y \neq 0$):

$$y \cdot y — 12 + y \cdot 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y^2 + y — 12 = 0$$

Шаг 4: Найдём дискриминант:

$$D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$$

Шаг 5: Найдём корни:

$$y_{1,2} = \frac{-1 \pm 7}{2}$$ $$y_1 = \frac{-1 — 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4$$ $$y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3$$

Шаг 6: Вернёмся к $x$:

• Для $y_1 = -4$:

$$\operatorname{tg} x = -4$$ $$x = -\arctg 4 + \pi n$$

• Для $y_2 = 3$:

$$\operatorname{tg} x = 3$$ $$x = \arctg 3 + \pi n$$

Ответ:

$$x = -\arctg 4 + \pi n; \quad x = \arctg 3 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

4) $\operatorname{tg} x + \operatorname{ctg} x = 2$

Шаг 1: Подставим $\operatorname{ctg} x = \frac{1}{\operatorname{tg} x}$:

$$\operatorname{tg} x + \frac{1}{\operatorname{tg} x} = 2$$

Шаг 2: Обозначим $y = \operatorname{tg} x$, тогда:

$$y + \frac{1}{y} = 2$$

Шаг 3: Домножим на $y$ (при $y \neq 0$):

$$y^2 + 1 = 2y$$

Переносим все в одну сторону:

$$y^2 — 2y + 1 = 0$$

Шаг 4: Заметим, что уравнение является полным квадратом:

$$(y — 1)^2 = 0$$

Отсюда:

$$y — 1 = 0 \quad \Rightarrow \quad y = 1$$

Шаг 5: Возвращаемся к $x$:

$$\operatorname{tg} x = 1$$

Известно, что:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$