ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 658 Алимов — Подробные Ответы

1. (1+ корень 2 cosx)(1-4sinxcosx)=0;
2. (1- корень 2 cosx)(1+2sin2xcos2x)=0.

Часть 1:

$$(1 + \sqrt{2} \cos x)(1 — 4 \sin x \cdot \cos x) = 0$$

Первое уравнение:

$$1 + \sqrt{2} \cos x = 0$$ $$\sqrt{2} \cos x = -1$$ $$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Второе уравнение:

$$1 — 4 \sin x \cdot \cos x = 0$$ $$2 \sin 2x = 1$$ $$\sin 2x = \frac{1}{2}$$ $$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \quad (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$$

Часть 2:

$$(1 — \sqrt{2} \cos x)(1 + 2 \sin 2x \cdot \cos 2x) = 0$$

Первое уравнение:

$$1 — \sqrt{2} \cos x = 0$$ $$\sqrt{2} \cos x = 1$$ $$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$x = \pm \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Второе уравнение:

$$1 + 2 \sin 2x \cdot \cos 2x = 0$$ $$\sin 4x = -1$$ $$4x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$ $$x = \frac{1}{4} \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Часть 1: $(1 + \sqrt{2} \cos x)(1 — 4 \sin x \cdot \cos x) = 0$

Шаг 1: Разбираем первое уравнение $1 + \sqrt{2} \cos x = 0$.

Мы начинаем с первого уравнения:

$$1 + \sqrt{2} \cos x = 0.$$

Изолируем $\cos x$:

$$\sqrt{2} \cos x = -1.$$

Теперь делим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Мы знаем, что $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, поэтому $\cos x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ будет при значении:

$$x = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 2\pi n.$$

Так как $\arccos \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4}$, то:

$$x = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 2: Разбираем второе уравнение $1 — 4 \sin x \cdot \cos x = 0$.

Переходим ко второму уравнению:

$$1 — 4 \sin x \cdot \cos x = 0.$$

Решаем его относительно $\sin x \cdot \cos x$:

$$4 \sin x \cdot \cos x = 1.$$

Теперь применяем формулу для удвоенного угла:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x.$$

Тогда:

$$2 \sin 2x = 1.$$

Делим обе части на 2:

$$\sin 2x = \frac{1}{2}.$$

Решаем это уравнение с синусом. Мы знаем, что:

$$\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}.$$

Таким образом, решение будет:

$$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n.$$

Поскольку $\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$, получаем:

$$2x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Делим обе части на 2:

$$x = \frac{1}{2} \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \quad (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.

Часть 2: $(1 — \sqrt{2} \cos x)(1 + 2 \sin 2x \cdot \cos 2x) = 0$

Шаг 1: Разбираем первое уравнение $1 — \sqrt{2} \cos x = 0$.

Мы начинаем с первого уравнения:

$$1 — \sqrt{2} \cos x = 0.$$

Изолируем $\cos x$:

$$\sqrt{2} \cos x = 1.$$

Делим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\cos x = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Мы знаем, что $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, поэтому:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 2: Разбираем второе уравнение $1 + 2 \sin 2x \cdot \cos 2x = 0$.

Переходим ко второму уравнению:

$$1 + 2 \sin 2x \cdot \cos 2x = 0.$$

Применяем формулу для удвоенного угла:

$$\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x.$$

Тогда уравнение примет вид:

$$\sin 4x = -1.$$

Решаем это уравнение. Мы знаем, что:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1.$$

Так что:

$$4x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Делим обе части на 4:

$$x = \frac{1}{4} \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}.$$

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

Итоговые ответы:

1. $x = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n; \quad (-1)^n \cdot \frac{\pi}{12} + \frac{\pi n}{2}$.
2. $x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n; \quad -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.