ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 657 Алимов — Подробные Ответы

1. 2sin(3x-пи/4)+1=0;
2. 1-sin(x/2+пи/3)=0;
3. 3+4sin(2x+1)=0;
4. 5sin(2x-1)-2=0.

$2 \sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) + 1 = 0$;

$2 \sin \left( \frac{\pi}{2} + \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right) \right) = -1$;

$\cos \left( 3x — \frac{3\pi}{4} \right) = -\frac{1}{2}$;

$3x — \frac{3\pi}{4} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{3} \right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;

Первое уравнение:

$3x = -\frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = -\frac{8\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n$;

$x = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\pi}{12} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}$;

Второе уравнение:

$3x = +\frac{2\pi}{3} + \frac{3\pi}{4} + 2\pi n = \frac{8\pi}{12} + \frac{9\pi}{12} + 2\pi n = \frac{17\pi}{12} + 2\pi n$;

$x = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{17\pi}{12} + 2\pi n \right) = \frac{17\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}$.

Ответ: $\frac{\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}; \, \frac{17\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}$.

$1 — \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 0$;

$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 1$;

$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;

$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{3\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$;

$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{3} + 4\pi n$;

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 4\pi n$.

$3 + 4 \sin (2x + 1) = 0$;

$4 \sin (2x + 1) = -3$;

$\sin (2x + 1) = -\frac{3}{4}$;

$2x + 1 = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n$;

$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{3}{4} — 1 + \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \cdot \left( -\arcsin \frac{3}{4} — 1 + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{3}{4} — \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{3}{4} — \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$.

$5 \sin (2x — 1) — 2 = 0$;

$5 \sin (2x — 1) = 2$;

$\sin (2x — 1) = \frac{2}{5}$;

$2x — 1 = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{5} + \pi n$;

$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{5} + 1 + \pi n$;

$x = \frac{1}{2} \cdot \left( (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{5} + 1 + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$.

Задача 1: $2 \sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) + 1 = 0$

Шаг 1: Изолируем синус.

Начнем с того, что изолируем синус в уравнении:

$$2 \sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) + 1 = 0.$$

Вычитаем 1 из обеих частей уравнения:

$$2 \sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = -1.$$

Делим обе части на 2:

$$\sin \left( 3x — \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{1}{2}.$$

Шаг 2: Решаем уравнение с синусом.

Теперь решаем уравнение $\sin \theta = -\frac{1}{2}$. Мы знаем, что:

$$\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}.$$

Период функции синуса составляет $2\pi$, поэтому общее решение будет выглядеть так:

$$3x — \frac{\pi}{4} = \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) + 2\pi n = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n,$$

или

$$3x — \frac{\pi}{4} = \pi — \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) + 2\pi n = \pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Изолируем $x$.

Рассмотрим оба случая.

Первый случай:

$$3x — \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Прибавляем $\frac{\pi}{4}$ к обеим частям:

$$3x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$3x = -\frac{2\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{\pi}{12} + 2\pi n.$$

Теперь делим обе части на 3:

$$x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{12} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Второй случай:

$$3x — \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n.$$

Прибавляем $\frac{\pi}{4}$ к обеим частям:

$$3x = \frac{7\pi}{6} + \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$3x = \frac{14\pi}{12} + \frac{3\pi}{12} + 2\pi n = \frac{17\pi}{12} + 2\pi n.$$

Теперь делим обе части на 3:

$$x = \frac{1}{3} \left( \frac{17\pi}{12} + 2\pi n \right) = \frac{17\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}; \, \frac{17\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}$.

Задача 2: $1 — \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 0$

Шаг 1: Изолируем синус.

Начнем с изоляции синуса:

$$1 — \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 0.$$

Вычитаем 1 из обеих частей уравнения:

$$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} \right) = 1.$$

Шаг 2: Решаем уравнение с синусом.

Мы знаем, что $\sin \theta = 1$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$. Таким образом, получаем:

$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 3: Изолируем $x$.

Вычитаем $\frac{\pi}{3}$ из обеих частей:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Приводим к общему знаменателю:

$$\frac{x}{2} = \frac{3\pi}{6} — \frac{2\pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Теперь умножаем обе части на 2:

$$x = 2 \cdot \left( \frac{\pi}{6} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{3} + 4\pi n.$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n$.

Задача 3: $3 + 4 \sin (2x + 1) = 0$

Шаг 1: Изолируем синус.

Начнем с изоляции синуса:

$$3 + 4 \sin (2x + 1) = 0.$$

Вычитаем 3 из обеих частей уравнения:

$$4 \sin (2x + 1) = -3.$$

Делим обе части на 4:

$$\sin (2x + 1) = -\frac{3}{4}.$$

Шаг 2: Решаем уравнение с синусом.

Мы знаем, что:

$$\sin \theta = -\frac{3}{4}$$

можно решить через арксинус. Получаем общее решение:

$$2x + 1 = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{3}{4} + \pi n.$$

Шаг 3: Изолируем $x$.

Вычитаем 1 из обеих частей:

$$2x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{3}{4} — 1 + \pi n.$$

Делим обе части на 2:

$$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{3}{4} — 1 + \pi n \right).$$

Ответ: $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{3}{4} — \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$.

Задача 4: $5 \sin (2x — 1) — 2 = 0$

Шаг 1: Изолируем синус.

Начнем с изоляции синуса:

$$5 \sin (2x — 1) — 2 = 0.$$

Вычитаем 2 из обеих частей уравнения:

$$5 \sin (2x — 1) = 2.$$

Делим обе части на 5:

$$\sin (2x — 1) = \frac{2}{5}.$$

Шаг 2: Решаем уравнение с синусом.

Мы знаем, что:

$$\sin \theta = \frac{2}{5}$$

можно решить через арксинус. Получаем общее решение:

$$2x — 1 = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{5} + \pi n.$$

Шаг 3: Изолируем $x$.

Прибавляем 1 к обеим частям:

$$2x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{5} + 1 + \pi n.$$

Делим обе части на 2:

$$x = \frac{1}{2} \left( (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{5} + 1 + \pi n \right).$$

Ответ: $x = (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$.

Итоговые ответы:

1. $x = \frac{\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}; \, \frac{17\pi}{36} + \frac{2\pi n}{3}$.
2. $x = \frac{\pi}{3} + 4\pi n$.
3. $x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{3}{4} — \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$.
4. $x = (-1)^n \cdot \frac{1}{2} \arcsin \frac{2}{5} + \frac{1}{2} + \frac{\pi n}{2}$.