ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 655 Алимов — Подробные Ответы

Вычислить:

1. 2arcsin корень 3/2 + 3arcsin(-1/2);
2. arcsin 1/корень 2 — 4arcsin1;
3. arccos(-1/2) — arcsin(корень 3/2);
4. arccos(-1) — arcsin(-1);
5. 2arctg1+3arctg(-1/корень 3);
6. 4arctg(-1)+3arctg(корень 3).

1. $2 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{\pi}{3} — 3 \arcsin \frac{1}{2} = \frac{2\pi}{3} — 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} — \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{6};$
2. $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} — 4 \arcsin 1 = \frac{\pi}{4} — 4 \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} — 2\pi = \frac{\pi}{4} — \frac{8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4};$
3. $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) — \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \pi — \arccos \frac{1}{2} — \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} — \frac{\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3};$
4. $\arccos(-1) — \arcsin(-1) = \pi — \arccos 1 + \arcsin 1 = \pi — 0 + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2};$
5. $2 \arctg 1 + 3 \arctg \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 2 \cdot \frac{\pi}{4} — 3 \arctg \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{2} — 3 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} — \frac{\pi}{2} = 0;$
6. $4 \arctg(-1) + 3 \arctg \sqrt{3} = -4 \arctg 1 + 3 \cdot \frac{\pi}{3} = -4 \cdot \frac{\pi}{4} + \pi = 0.$

Задача 1: $2 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 3 \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right)$

Шаг 1: Рассмотрим первую часть $2 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы знаем, что:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3},$$

так как $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь умножим это значение на 2:

$$2 \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.$$

Шаг 2: Рассмотрим вторую часть $3 \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right)$.

Мы знаем, что:

$$\arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = -\frac{\pi}{6},$$

так как $\sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{2}$.

Теперь умножим это значение на 3:

$$3 \arcsin \left( -\frac{1}{2} \right) = 3 \cdot \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}.$$

Шаг 3: Складываем обе части.

Теперь, чтобы найти результат, сложим оба значения:

$$\frac{2\pi}{3} + \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \frac{4\pi}{6} — \frac{3\pi}{6} = \frac{\pi}{6}.$$

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

Задача 2: $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} — 4 \arcsin 1$

Шаг 1: Рассмотрим первую часть $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Мы знаем, что:

$$\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi}{4},$$

так как $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Шаг 2: Рассмотрим вторую часть $4 \arcsin 1$.

Мы знаем, что:

$$\arcsin 1 = \frac{\pi}{2},$$

так как $\sin \frac{\pi}{2} = 1$.

Теперь умножим это значение на 4:

$$4 \arcsin 1 = 4 \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi.$$

Шаг 3: Вычитаем вторую часть из первой.

Теперь, чтобы найти результат, вычитаем $2\pi$ из $\frac{\pi}{4}$:

$$\frac{\pi}{4} — 2\pi = \frac{\pi}{4} — \frac{8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}.$$

Ответ: $-\frac{7\pi}{4}$.

Задача 3: $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) — \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Рассмотрим первую часть $\arccos \left( -\frac{1}{2} \right)$.

Мы знаем, что:

$$\arccos \left( -\frac{1}{2} \right) = \frac{2\pi}{3},$$

так как $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.

Шаг 2: Рассмотрим вторую часть $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Мы знаем, что:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3},$$

так как $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Шаг 3: Вычитаем вторую часть из первой.

Теперь, чтобы найти результат, вычитаем $\frac{\pi}{3}$ из $\frac{2\pi}{3}$:

$$\frac{2\pi}{3} — \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3}.$$

Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

Задача 4: $\arccos(-1) — \arcsin(-1)$

Шаг 1: Рассмотрим первую часть $\arccos(-1)$.

Мы знаем, что:

$$\arccos(-1) = \pi,$$

так как $\cos \pi = -1$.

Шаг 2: Рассмотрим вторую часть $\arcsin(-1)$.

Мы знаем, что:

$$\arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2},$$

так как $\sin \left( -\frac{\pi}{2} \right) = -1$.

Шаг 3: Вычитаем вторую часть из первой.

Теперь, чтобы найти результат, вычитаем $-\frac{\pi}{2}$ из $\pi$:

$$\pi — \left( -\frac{\pi}{2} \right) = \pi + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{2}.$$

Ответ: $\frac{3\pi}{2}$.

Задача 5: $2 \arctg 1 + 3 \arctg \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$

Шаг 1: Рассмотрим первую часть $2 \arctg 1$.

Мы знаем, что:

$$\arctg 1 = \frac{\pi}{4},$$

так как $\tan \frac{\pi}{4} = 1$.

Теперь умножим это значение на 2:

$$2 \arctg 1 = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 2: Рассмотрим вторую часть $3 \arctg \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

Мы знаем, что:

$$\arctg \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) = -\frac{\pi}{6},$$

так как $\tan \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Теперь умножим это значение на 3:

$$3 \arctg \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 3 \cdot \left( -\frac{\pi}{6} \right) = -\frac{3\pi}{6} = -\frac{\pi}{2}.$$

Шаг 3: Складываем обе части.

Теперь, чтобы найти результат, сложим $\frac{\pi}{2}$ и $-\frac{\pi}{2}$:

$$\frac{\pi}{2} + \left( -\frac{\pi}{2} \right) = 0.$$

Ответ: $0$.

Задача 6: $4 \arctg(-1) + 3 \arctg \sqrt{3}$

Шаг 1: Рассмотрим первую часть $4 \arctg(-1)$.

Мы знаем, что:

$$\arctg(-1) = -\frac{\pi}{4},$$

так как $\tan \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -1$.

Теперь умножим это значение на 4:

$$4 \arctg(-1) = 4 \cdot \left( -\frac{\pi}{4} \right) = -\pi.$$

Шаг 2: Рассмотрим вторую часть $3 \arctg \sqrt{3}$.

Мы знаем, что:

$$\arctg \sqrt{3} = \frac{\pi}{3},$$

так как $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.

Теперь умножим это значение на 3:

$$3 \arctg \sqrt{3} = 3 \cdot \frac{\pi}{3} = \pi.$$

Шаг 3: Складываем обе части.

Теперь, чтобы найти результат, сложим $-\pi$ и $\pi$:

$$-\pi + \pi = 0.$$

Ответ: $0$.

Итоговые ответы:

1. $\frac{\pi}{6}$.
2. $-\frac{7\pi}{4}$.
3. $\frac{\pi}{3}$.
4. $\frac{3\pi}{2}$.
5. $0$.
6. $0$.