ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 650 Алимов — Подробные Ответы

1. sinx > 1/2;
2. sinx < = корень 2/2;
3. sinx < = -корень 2/2;
4. sinx > — корень 3/2

$\sin x > \frac{1}{2}$;

$$\arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n < x < \pi — \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$

$\sin x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$-\pi — \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n \leq x \leq \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n;$$ $$-\pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$

$\sin x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$-\pi + \arcsin \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n \leq x \leq -\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n;$$ $$-\pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq -\frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq -\frac{\pi}{4} + 2\pi n.$

$\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$\arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n < x < \pi — \arcsin \left( -\frac{\sqrt{3}}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n < x < \pi + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n;$$ $$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi }{3}+2\pi n<x<\frac{4\pi }{3}+2\pi n\mathrm{.}$

1) $\sin x > \frac{1}{2}$

Шаг 1: Определение интервала для $\sin x > \frac{1}{2}$

Функция $\sin x$ принимает значения от $-1$ до $1$, и на интервале $[0, 2\pi]$ синус функции имеет положительные значения на отрезке от $0$ до $\pi$, и отрицательные — на отрезке от $\pi$ до $2\pi$.

Необходимо найти $x$, при которых $\sin x > \frac{1}{2}$. Мы знаем, что:

$$\sin x = \frac{1}{2} \quad \text{при} \quad x = \frac{\pi}{6} \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6}.$$

Поскольку $\sin x$ возрастает на интервале $[0, \pi]$, и для значений $x$ между $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$ синус будет больше $\frac{1}{2}$, решение для $\sin x > \frac{1}{2}$ на интервале $[0, 2\pi]$ — это:

$$\frac{\pi}{6} < x < \frac{5\pi}{6}.$$

Шаг 2: Учёт всех периодов

Так как синус периодичен с периодом $2\pi$, то общее решение будет:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

2) $\sin x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Определение интервала для $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Значение $\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ возникает при:

$$x = \frac{\pi}{4} \quad \text{и} \quad x = \frac{3\pi}{4}.$$

Для $\sin x \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$, нас интересует весь интервал от $-\pi$ до $\pi$, включающий эти значения, и те части интервала, где синус не превышает $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Мы видим, что на интервале от $-\pi$ до $\pi$, синус будет меньше или равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$ на следующих отрезках:

$$-\pi — \frac{\pi}{4} \leq x \leq \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2: Учёт всех периодов

Период синуса равен $2\pi$, так что общее решение будет:

$$-\pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$-\frac{5\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

3) $\sin x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Шаг 1: Определение интервала для $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Значение $\sin x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ возникает при:

$$x = -\frac{\pi}{4} \quad \text{и} \quad x = -\frac{3\pi}{4}.$$

Мы ищем интервал, на котором синус меньше или равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, что происходит на интервале:

$$-\pi + \frac{\pi}{4} \leq x \leq -\frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2: Учёт всех периодов

Период синуса равен $2\pi$, так что общее решение будет:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq -\frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$-\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq -\frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

4) $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Шаг 1: Определение интервала для $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Значение $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ возникает при:

$$x = -\frac{\pi}{3} \quad \text{и} \quad x = -\frac{2\pi}{3}.$$

Для $\sin x > -\frac{\sqrt{3}}{2}$, нас интересует интервал, на котором синус больше этого значения. Это происходит на интервале:

$$-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n < x < \pi + \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n.$$

Мы знаем, что:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3},$$

поэтому решение будет:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \pi + \frac{\pi}{3} + 2\pi n.$$

Шаг 2: Учёт всех периодов

Период синуса равен $2\pi$, и общее решение будет:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Ответ:

$$-\frac{\pi}{3} + 2\pi n < x < \frac{4\pi}{3} + 2\pi n.$$