ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 649 Алимов — Подробные Ответы

1. cosx < = корень 3;
2. cosx < -2;
3. cosx > = 1;
4. cosx < = -1.

1. $\cos x \leq \sqrt{3}$;
   $-1 \leq \cos x \leq 1$;
   $3 > 1$, отсюда $\sqrt{3} > 1$;
   Ответ: при любом $x$.
2. $\cos x < -2$;
   $-1 \leq \cos x \leq 1$;
   Ответ: решений нет.
3. $\cos x \geq 1$;
   $-1 \leq \cos x \leq 1$;
   $\cos x = 1$;
   $x = \arccos 1 + 2\pi n = 2\pi n$;
   Ответ: $2\pi n$.
4. $\cos x \leq -1$;
   $-1 \leq \cos x \leq 1$;
   $\cos x = -1$;
   $x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n$;
   Ответ: $\pi + 2\pi n$.

Шаг 1: Решение для $\cos x \leq \sqrt{3}$

Условие:

$$\cos x \leq \sqrt{3}$$

1.1. Обзор диапазона косинуса:

Косинус функции $\cos x$ для всех значений $x$ в действительных числах принимает значения в интервале от $-1$ до $1$, то есть:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

1.2. Сравнение:

Задано, что $\cos x \leq \sqrt{3}$. Однако $\sqrt{3}$ приближенно равно $1.732$, и это больше, чем верхний предел диапазона значений для косинуса, который равен 1.

Таким образом, для любого $x$, значение $\cos x$ всегда меньше или равно 1. Поскольку $\sqrt{3} > 1$, условие $\cos x \leq \sqrt{3}$ выполнено для любого значения $x$.

Ответ:

$$\text{при любом } x.$$

Шаг 2: Решение для $\cos x < -2$

Условие:

$$\cos x < -2$$

2.1. Обзор диапазона косинуса:

Как уже упоминалось, косинус принимает значения в интервале от $-1$ до $1$, то есть:

$$-1 \leq \cos x \leq 1$$

2.2. Анализ неравенства:

Мы видим, что неравенство $\cos x < -2$ невозможно, так как значение косинуса не может быть меньше $-1$. Косинус не может выйти за пределы диапазона $-1 \leq \cos x \leq 1$.

Ответ:
Поскольку значение косинуса не может быть меньше $-2$, то решения данного неравенства не существует.

Шаг 3: Решение для $\cos x \geq 1$

Условие:

$$\cos x \geq 1$$

3.1. Обзор диапазона косинуса:

Мы снова знаем, что $\cos x$ может принимать значения только в интервале $-1 \leq \cos x \leq 1$.

3.2. Решение для $\cos x = 1$:

Для того чтобы $\cos x \geq 1$, косинус должен быть равен 1, потому что это наибольшее значение косинуса в его диапазоне.

Решение уравнения $\cos x = 1$ известно — это $x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число, поскольку косинус имеет период $2\pi$. То есть, $\cos x = 1$ при $x = 0, 2\pi, 4\pi, \dots$.

3.3. Ответ:

Ответом будет множество значений $x$, которые равны $2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 4: Решение для $\cos x \leq -1$

Условие:

$$\cos x \leq -1$$

4.1. Обзор диапазона косинуса:

Как мы знаем, косинус функции $\cos x$ также ограничен интервалом $-1 \leq \cos x \leq 1$. То есть, наибольшее возможное значение $\cos x$ — это 1, а наименьшее — это $-1$.

4.2. Решение для $\cos x = -1$:

Чтобы $\cos x \leq -1$, косинус должен быть равен $-1$, поскольку это наименьшее значение косинуса.

Решение уравнения $\cos x = -1$ известно — это $x = \pi + 2\pi n$, где $n$ — любое целое число, так как косинус имеет период $2\pi$. Таким образом, $\cos x = -1$ при $x = \pi, 3\pi, 5\pi, \dots$.

4.3. Ответ:

Ответом будет множество значений $x$, которые равны $\pi + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$