ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 648 Алимов — Подробные Ответы

Решить неравенство (648—654).

1. cosx > =корень 2/2;
2. cosx < корень 3/2;
3. cosx > -корень 3/2;
4. cosx < =-корень 2/2.

$\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$-\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n \leq x \leq \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n$;

$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$\arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n < x < 2\pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n;$$ $$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < 2\pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n$.

$\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$;

$$-\pi + \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n < x < \pi — \arccos \frac{\sqrt{3}}{2} + 2\pi n;$$ $$-\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n;$$

Ответ: $-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$.

$\cos x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$;

$$\arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n \leq x \leq 2\pi — \arccos \left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$\pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n \leq x \leq 2\pi — \pi + \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n;$$ $$\pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n$.

Шаг 1. Условие $\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$

Задано неравенство $\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$. Нам нужно найти интервал значений $x$, для которых это неравенство выполняется.

1.1. Решение для $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Из таблицы значений косинуса мы знаем, что $\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ при $x = \pm \frac{\pi}{4}$. Это точки на единичной окружности, где косинус равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

1.2. Интервал решения

Косинус имеет положительные значения на интервалах $(-\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{4})$ в первом и четвертом квадрантах. Период функции косинуса составляет $2\pi$, следовательно, условие $\cos x \geq \frac{\sqrt{2}}{2}$ выполняется в интервалах вида:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Ответ для пункта 1:

$$-\frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Шаг 2. Условие $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь разберем условие $\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$. Нам нужно найти интервал значений $x$, при которых косинус меньше, чем $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

2.1. Решение для $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Мы знаем, что $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при $x = \pm \frac{\pi}{6}$, также из таблицы значений косинуса.

2.2. Интервал решения

Косинус меньше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на интервалах между $\frac{\pi}{6}$ и $2\pi — \frac{\pi}{6}$ в первом и четвертом квадрантах, то есть:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < 2\pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ для пункта 2:

$$\frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{11\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 3. Условие $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$

Далее разберем условие $\cos x > \frac{\sqrt{3}}{2}$, то есть ищем интервал, где косинус больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

3.1. Решение для $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Как уже упоминалось, $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$ при $x = \pm \frac{\pi}{6}$.

3.2. Интервал решения

Косинус больше $\frac{\sqrt{3}}{2}$ на интервале от $-\pi + \frac{\pi}{6}$ до $\pi — \frac{\pi}{6}$, то есть:

$$-\pi + \frac{\pi}{6} + 2\pi n < x < \pi — \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Упростим:

$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Ответ для пункта 3:

$$-\frac{5\pi}{6} + 2\pi n < x < \frac{5\pi}{6} + 2\pi n.$$

Шаг 4. Условие $\cos x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Рассмотрим последнее условие $\cos x \leq -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Здесь нам нужно найти интервал значений $x$, при которых косинус меньше либо равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4.1. Решение для $\cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Косинус равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ при $x = \pm \frac{3\pi}{4}$, что также можно увидеть на единичной окружности.

4.2. Интервал решения

Косинус меньше или равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$ на интервале от $\pi — \frac{\pi}{4}$ до $\pi + \frac{\pi}{4}$, что соответствует промежуткам:

$$\pi — \frac{\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \pi + \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Упростим:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$

Ответ для пункта 4:

$$\frac{3\pi}{4} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi n.$$