ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 642 Алимов — Подробные Ответы

1. sin x sin 5x = 1;
2. sin x cos 4x = -1.

1) $\sin x \cdot \sin 5x = 1$;

Первая система уравнений:

$$\begin{cases} \sin x = 1 & \Rightarrow \begin{cases} x = \arcsin 1 + 2\pi n \\ 5x = \arcsin 1 + 2\pi n \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ 5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \end{cases} \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5} \end{cases} \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Вторая система уравнений:

$$\begin{cases} \sin x = -1 & \Rightarrow \begin{cases} x = -\arcsin 1 + 2\pi n \\ 5x = -\arcsin 1 + 2\pi n \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ 5x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \end{cases} \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ x = -\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5} \end{cases} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n}$.

2) $\sin x \cdot \cos 4x = -1$;

Первая система уравнений:

$$\begin{cases} \sin x = 1 & \Rightarrow \begin{cases} x = \arcsin 1 + 2\pi n \\ 4x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ 4x = \pi + 2\pi n \end{cases} \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \end{cases} \Rightarrow \text{корней нет};$$

Вторая система уравнений:

$$\begin{cases} \sin x = -1 & \Rightarrow \begin{cases} x = -\arcsin 1 + 2\pi n \\ 4x = \arccos 1 + 2\pi n \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ 4x = 2\pi n \end{cases} \end{cases}$$ $$\begin{cases} x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \\ x = \frac{\pi n}{2} \end{cases} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\boxed{-\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$.

Задача 1

Уравнение: $\sin x \cdot \sin 5x = 1$

Нам нужно решить уравнение:

$$\sin x \cdot \sin 5x = 1$$

Чтобы решить это уравнение, начнем с того, что $\sin x$ и $\sin 5x$ оба принимают значения от $-1$ до $1$. Чтобы произведение этих функций было равно 1, обе функции должны быть равны 1, поскольку максимальное значение синуса — это 1.

1.1. Первая система уравнений

Если $\sin x = 1$, то:

$$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Теперь подставим это значение $x$ в $\sin 5x$. Так как $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, то:

$$5x = 5 \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{5\pi}{2} + 10\pi n$$

И, следовательно:

$$\sin 5x = \sin \left( \frac{5\pi}{2} + 10\pi n \right)$$

Мы знаем, что $\sin \left( \frac{5\pi}{2} \right) = 1$, так как $\frac{5\pi}{2}$ — это угол, который соответствует $\frac{\pi}{2}$, только с добавлением целых кратных $2\pi$, что не изменяет значения синуса.

Таким образом, $\sin 5x = 1$, что подтверждает, что для $\sin x = 1$, $\sin 5x$ также равно 1.

Теперь, подставляем это значение в уравнение, чтобы убедиться, что $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$ удовлетворяет уравнению. Таким образом, первое решение — это:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Теперь рассмотрим следующее значение для синуса.

1.2. Вторая система уравнений

Если $\sin x = -1$, то:

$$x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Теперь подставим это значение $x$ в $\sin 5x$. Так как $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, то:

$$5x = 5 \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = -\frac{5\pi}{2} + 10\pi n$$

И, следовательно:

$$\sin 5x = \sin \left( -\frac{5\pi}{2} + 10\pi n \right)$$

Мы знаем, что $\sin \left( -\frac{5\pi}{2} \right) = -1$, так как $-\frac{5\pi}{2}$ — это угол, который соответствует $-\frac{\pi}{2}$, только с добавлением целых кратных $2\pi$, что не изменяет значения синуса.

Таким образом, $\sin 5x = -1$, что также соответствует правой части уравнения, равной 1.

Следовательно, для $\sin x = -1$, $\sin 5x$ равно $-1$, и это значение также подходит для уравнения.

Ответ: $\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n}$.

Задача 2

Уравнение: $\sin x \cdot \cos 4x = -1$

Рассмотрим следующее уравнение:

$$\sin x \cdot \cos 4x = -1$$

Это уравнение будет решаться аналогично предыдущему. Однако здесь $\sin x$ и $\cos 4x$ имеют разные максимумы. Поскольку значения синуса и косинуса лежат в интервале от $-1$ до $1$, чтобы произведение их значений было равно $-1$, каждый из них должен быть равен $-1$.

2.1. Первая система уравнений

Если $\sin x = 1$, то:

$$x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Теперь подставим это значение в $\cos 4x$:

$$4x = 4 \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = 2\pi + 8\pi n$$

И, следовательно:

$$\cos 4x = \cos \left( 2\pi + 8\pi n \right) = 1$$

Мы видим, что $\cos 4x$ не может быть равен $-1$ при $\sin x = 1$, так как в этом случае $\cos 4x = 1$, а не $-1$.

Следовательно, первое решение не подходит, и корней для этой системы нет.

2.2. Вторая система уравнений

Если $\sin x = -1$, то:

$$x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Теперь подставим это значение в $\cos 4x$:

$$4x = 4 \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = -2\pi + 8\pi n$$

И, следовательно:

$$\cos 4x = \cos \left( -2\pi + 8\pi n \right) = 1$$

Снова $\cos 4x$ не может быть равен $-1$, поскольку при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$ $\cos 4x = 1$, а не $-1$.

Таким образом, для второй системы уравнений тоже нет корней.

Ответ: $\boxed{-\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$.

Итоговые ответы

1. Ответ к первой задаче: $\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n}$
2. Ответ ко второй задаче: $\boxed{-\frac{\pi}{2} + 2\pi n}$