ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 640 Алимов — Подробные Ответы

1. cos2 x + cos2 2x = cos2 3x + cos2 4x;
2. sin6x+cos6x=1/4.

1) ${\cos }^{2}x+{\cos }^{2}2x={\cos }^{2}3x+{\cos }^{2}4x$;

$${\cos }^{2}x-{\cos }^{2}3x+{\cos }^{2}2x-{\cos }^{2}4x=0$$

$$(\cos x-\cos 3x)(\cos x+\cos 3x)+(\cos 2x-\cos 4x)(\cos 2x+\cos 4x)=0$$

$$-2\cdot \sin \frac{x+3x}{2}\cdot \sin \frac{x-3x}{2}\cdot 2\cdot \cos \frac{x+3x}{2}\cdot \cos \frac{x-3x}{2}-2\cdot$$

$$\sin \frac{2x+4x}{2}\cdot \sin \frac{2x-4x}{2}\cdot 2\cdot \cos \frac{2x+4x}{2}\cdot \cos \frac{2x-4x}{2}=0$$

$$-2\cdot \sin \frac{4x}{2}\cdot \sin (-\frac{2x}{2})\cdot 2\cdot \cos \frac{4x}{2}\cdot \cos (-\frac{2x}{2})-$$

$$2\cdot \sin \frac{6x}{2}\cdot \sin (-\frac{2x}{2})\cdot 2\cdot \cos \frac{6x}{2}\cdot \cos (-\frac{2x}{2})=0$$

$$2\cdot \sin 2x\cdot \sin x\cdot 2\cdot \cos 2x\cdot \cos x+2\cdot \sin 3x\cdot \sin x\cdot 2\cdot \cos 3x\cdot \cos x=0$$

$$\sin 2x\cdot \sin 4x+2\cdot \sin 2x\cdot \sin 6x=0$$

$$\sin 2x\cdot (\sin 4x+\sin 6x)=0$$

$$\sin 2x\cdot 2\cdot \sin \frac{4x+6x}{2}\cdot \cos \frac{4x-6x}{2}=0$$

$$2\cdot \sin 2x\cdot \sin \frac{10x}{2}\cdot \cos (-\frac{2x}{2})=0$$

$$\sin 2x\cdot \sin 5x\cdot \cos x=0$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x=0$$

$$2x=\arcsin 0+\pi n=\pi n$$

$$x=\frac{1}{2}\cdot \pi n=\frac{\pi n}{2}$$

Второе уравнение:

$$\sin 5x=0$$

$$5x=\arcsin 0+\pi n=\pi n$$

$$x=\frac{1}{5}\cdot \pi n=\frac{\pi n}{5}$$

Третье уравнение:

$$\cos x=0$$

$$x=\arccos 0+\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n$$

Ответ: $\frac{\pi n}{2};\frac{\pi n}{5}$.

2) ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=\frac{1}{4}$;

$$({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^3-3{\sin }^{4}x\cdot {\cos }^{2}x-3{\cos }^{4}x\cdot {\sin }^{2}x=\frac{1}{4}$$

$$1^3-3{\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x\cdot 1=\frac{1}{4}$$

$$1-3{\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$$

$$-3\cdot 4{\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x=\frac{1}{4}-1$$

$$-\frac{3}{4}{\sin }^{2}2x=-\frac{3}{4}$$

$${\sin }^{2}2x=1$$

$$\sin 2x=\pm 1$$

$$2x=\pm \arcsin 1+\pi n=\pm \frac{\pi }{2}+\pi n$$

$$x=\frac{1}{2}\cdot (\pm \frac{\pi }{2}+\pi n)=\pm \frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $\pm \frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$.

1) ${\cos }^{2}x+{\cos }^{2}2x={\cos }^{2}3x+{\cos }^{2}4x$

Шаг 1: Перепишем уравнение:

$${\cos }^{2}x+{\cos }^{2}2x={\cos }^{2}3x+{\cos }^{2}4x$$

Переносим все слагаемые на одну сторону:

$${\cos }^{2}x-{\cos }^{2}3x+{\cos }^{2}2x-{\cos }^{2}4x=0$$

Шаг 2: Используем формулу разности квадратов:

$$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$$

Применим эту формулу для каждого из выражений:

$$(\cos x-\cos 3x)(\cos x+\cos 3x)+(\cos 2x-\cos 4x)(\cos 2x+\cos 4x)=0$$

Шаг 3: Применим формулы для разности и суммы косинусов:

$$\cos A-\cos B=-2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\sin \left(\frac{A-B}{2}\right)$$$$\cos A+\cos B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Таким образом, каждое из слагаемых можно выразить через синусы и косинусы:

$$(\cos x-\cos 3x)(\cos x+\cos 3x)=$$

$$=-2\cdot \sin \frac{x+3x}{2}\cdot \sin \frac{x-3x}{2}\cdot 2\cdot \cos \frac{x+3x}{2}\cdot \cos \frac{x-3x}{2}$$

и для второго слагаемого:

$$(\cos 2x-\cos 4x)(\cos 2x+\cos 4x)=$$

$$=-2\cdot \sin \frac{2x+4x}{2}\cdot \sin \frac{2x-4x}{2}\cdot 2\cdot \cos \frac{2x+4x}{2}\cdot \cos \frac{2x-4x}{2}$$

Шаг 4: Упростим выражения:
Мы можем упростить дроби и выражения для синусов и косинусов:

$$-2\cdot \sin \frac{4x}{2}\cdot \sin (-\frac{2x}{2})\cdot 2\cdot \cos \frac{4x}{2}\cdot \cos (-\frac{2x}{2})-$$

$$2\cdot \sin \frac{6x}{2}\cdot \sin (-\frac{2x}{2})\cdot 2\cdot \cos \frac{6x}{2}\cdot \cos (-\frac{2x}{2})$$

Шаг 5: Упростим и сгруппируем:
Теперь из исходного уравнения можем выделить общие множители:

$$2\cdot \sin 2x\cdot \sin x\cdot 2\cdot \cos 2x\cdot \cos x+2\cdot \sin 3x\cdot \sin x\cdot 2\cdot \cos 3x\cdot \cos x=0$$

Шаг 6: Разбиение на две части:
Рассмотрим каждую из этих частей по отдельности. Сначала мы получаем:

$$\sin 2x\cdot \sin 4x+2\cdot \sin 2x\cdot \sin 6x=0$$

Шаг 7: Применяем формулу для суммы синусов:
Используем формулу для суммы синусов:

$$\sin A+\sin B=2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$$

Для выражения $\sin 2x\cdot (\sin 4x+\sin 6x)=0$, применяем эту формулу:

$$\sin 2x\cdot 2\cdot \sin \frac{4x+6x}{2}\cdot \cos \frac{4x-6x}{2}=0$$

Шаг 8: Упростим выражение:
Получаем:

$$2\cdot \sin 2x\cdot \sin \frac{10x}{2}\cdot \cos (-\frac{2x}{2})=0$$

Шаг 9: Анализ уравнений:
Итак, у нас получается три уравнения:

1. $\sin 2x=0$
2. $\sin 5x=0$
3. $\cos x=0$

Решение первого уравнения:

$$\sin 2x=0$$$$2x=\arcsin 0+\pi n=\pi n$$$$x=\frac{1}{2}\cdot \pi n=\frac{\pi n}{2}$$

Решение второго уравнения:

$$\sin 5x=0$$$$5x=\arcsin 0+\pi n=\pi n$$$$x=\frac{1}{5}\cdot \pi n=\frac{\pi n}{5}$$

Решение третьего уравнения:

$$\cos x=0$$$$x=\arccos 0+\pi n=\frac{\pi }{2}+\pi n$$

Ответ для задачи 1:

$$\boxed{{\displaystyle \frac{\pi n}{2},\frac{\pi n}{5}}}$$

2) ${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=\frac{1}{4}$

Шаг 1: Используем идентичность:
Заменим выражение с шестыми степенями с помощью формулы:

$${\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x{)}^3-3{\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x\cdot ({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)$$

Поскольку ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$, то формула упрощается:

$$1^3-3{\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$$$$1-3{\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$$

Шаг 2: Решение для ${\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x$:
Переносим 1 на другую сторону:

$$-3{\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x=\frac{1}{4}-1=-\frac{3}{4}$$$${\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x=\frac{1}{4}$$

Шаг 3: Применяем двойную угловую формулу:
Используем формулу $\sin 2x=2\sin x\cos x$, тогда:

$${\sin }^{2}2x=4{\sin }^{2}x\cdot {\cos }^{2}x$$

Подставляем значение:

$${\sin }^{2}2x=1$$$$\sin 2x=\pm 1$$

Шаг 4: Решаем для $x$:

$$2x=\pm \arcsin 1+\pi n=\pm \frac{\pi }{2}+\pi n$$$$x=\frac{1}{2}\cdot (\pm \frac{\pi }{2}+\pi n)=\pm \frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ для задачи 2:

$$\boxed{{\displaystyle \pm \frac{\pi }{4}+\frac{\pi n}{2}}}$$