ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 633 Алимов — Подробные Ответы

1. 4 sin x cos x cos 2x = sin2 4x;
2. 1 + cos2x = sin4x.

$4 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = \sin^2 4x$;
$2 \sin 2x \cdot \cos 2x = \sin^2 4x$;
$\sin 4x = \sin^2 4x$;

Первое уравнение:
$\sin 4x = 0$;
$4x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
$x = \frac{1}{4} \cdot \pi n = \frac{\pi n}{4}$;

Второе уравнение:
$\sin 4x = 1$;
$4x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$;

Ответ: $\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.

$1 + \cos^2 x = \sin^4 x$;
$1 — \sin^4 x + \cos^2 x = 0$;
$(1 — \sin^2 x)(1 + \sin^2 x) + \cos^2 x = 0$;
$\cos^2 x \cdot (1 + \sin^2 x) + \cos^2 x = 0$;
$\cos^2 x \cdot (1 + \sin^2 x + 1) = 0$;
$\cos^2 x \cdot (\sin^2 x + 2) = 0$;

Первое уравнение:
$\cos^2 x = 0$;
$\cos x = 0$;
$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$;

Второе уравнение:
$\sin^2 x + 2 = 0$;
$\sin^2 x = -2$ — корней нет;

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$.

Часть 1. $4 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = \sin^2 4x$

1. Начнем с того, что преобразуем исходное уравнение:

   $$4 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = \sin^2 4x$$

   Для начала мы можем использовать известное тригонометрическое тождество для произведения синуса и косинуса:

   $$2 \sin x \cos x = \sin 2x.$$

   Подставим это в выражение:

   $$4 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = 2 \cdot 2 \sin x \cdot \cos x \cdot \cos 2x = 2 \sin 2x \cdot \cos 2x.$$

   Таким образом, уравнение преобразуется в:

   $$2 \sin 2x \cdot \cos 2x = \sin^2 4x.$$

2. Следующий шаг — применим формулы удвоенного угла:

   $$\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x.$$

   Подставим это в исходное уравнение:

   $$2 \sin 2x \cdot \cos 2x = (2 \sin 2x \cos 2x)^2.$$

   Преобразуем правую часть:

   $$(2 \sin 2x \cos 2x)^2 = 4 \sin^2 2x \cos^2 2x.$$

   Получаем уравнение:

   $$2 \sin 2x \cos 2x = 4 \sin^2 2x \cos^2 2x.$$

3. Разделим обе части на $2 \sin 2x \cos 2x$ (при этом $\sin 2x \cos 2x \neq 0$):

   $$1 = 2 \sin 2x \cos 2x.$$

   Это уравнение уже выглядит проще и дальше его можно решить. Рассмотрим два случая.

Первое уравнение: $\sin 4x = 0$

Для того чтобы решить $\sin 4x = 0$, нужно решить:

$$4x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n.$$

Таким образом, $x = \frac{\pi n}{4}$.

Второе уравнение: $\sin 4x = 1$

Для решения $\sin 4x = 1$, используем:

$$4x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Отсюда:

$$x = \frac{1}{4} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}.$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi n}{4}, \quad x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}.$$

Часть 2. $1 + \cos^2 x = \sin^4 x$

1. Начнем с того, что данное уравнение имеет вид:

   $$1 + \cos^2 x = \sin^4 x.$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$1 + \cos^2 x — \sin^4 x = 0.$$

   Используем тождество $\cos^2 x = 1 — \sin^2 x$, чтобы заменить $\cos^2 x$ в уравнении:

   $$1 + (1 — \sin^2 x) = \sin^4 x.$$

   Преобразуем уравнение:

   $$2 — \sin^2 x = \sin^4 x.$$

   Переносим все в одну сторону:

   $$\sin^4 x + \sin^2 x — 2 = 0.$$

2. Введем замену: $y = \sin^2 x$, тогда уравнение примет вид:

   $$y^2 + y — 2 = 0.$$

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   $$D = 1^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9.$$

   Корни уравнения:

   $$y_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1, \quad y_2 = \frac{-1 — 3}{2} = -2.$$

   Так как $y = \sin^2 x$, то $y_2 = -2$ не имеет смысла (так как квадрат синуса не может быть отрицательным), оставляем только $y_1 = 1$.

3. Получаем:

   $$\sin^2 x = 1.$$

   Следовательно, $\sin x = \pm 1$.

Первый случай: $\sin x = 1$

Решаем уравнение $\sin x = 1$:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Второй случай: $\sin x = -1$

Решаем уравнение $\sin x = -1$:

$$x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \quad x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n.$$

Итоговые ответы:

1. Для первого уравнения: $x = \frac{\pi n}{4}, \, x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$.
2. Для второго уравнения: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, \, x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$.