ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 630 Алимов — Подробные Ответы

1. 2sin2x=1+1/3sin4x;
2. 2cos2 2x -1=sin4x;
3. 2cos2 2x + 3cos2x=2;
4. (sinx+cosx)2= 1+cosx.

1)

$2 \sin^2 x = 1 + \frac{1}{3} \sin 4x;$
$1 — \cos 2x = 1 + \frac{2}{3} \sin 2x \cdot \cos 2x;$
$\frac{2}{3} \sin 2x \cdot \cos 2x + \cos 2x = 0;$
$\cos 2x \cdot \left( \frac{2}{3} \sin 2x + 1 \right) = 0;$

Первое уравнение:
$\cos 2x = 0;$
$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$
$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$

Второе уравнение:
$\frac{2}{3} \sin 2x + 1 = 0;$
$\frac{2}{3} \sin 2x = -1;$
$\sin 2x = -\frac{3}{2};$
Корней нет.

Ответ:
$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}.$

2)

$2 \cos^2 2x — 1 = \sin 4x;$
$1 + \cos 4x — 1 — \sin 4x = 0;$
$\cos 4x — \sin 4x = 0; \quad | : \cos 4x;$
$1 — \operatorname{tg} 4x = 0;$
$\operatorname{tg} 4x = 1;$
$4x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n;$
$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4};$

Ответ:
$\boxed{\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}}.$

3)

$2 \cos^2 2x + 3 \cos^2 x = 2;$
$2 \cos^2 2x + \frac{3}{2} (1 + \cos 2x) = 2;$
$2 \cos^2 2x + 1.5 + 1.5 \cos 2x — 2 = 0;$
$2 \cos^2 2x + 1.5 \cos 2x — 0.5 = 0;$

Пусть $y = \cos 2x$, тогда:
$2y^2 + 1.5y — 0.5 = 0;$
$4y^2 + 3y — 1 = 0;$
$D = 3^2 + 4 \cdot 4 = 9 + 16 = 25;$
тогда:
$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 4} = -1 \quad \text{и} \quad y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4};$

Первое уравнение:
$\cos 2x = -1;$
$2x = \pi — \arccos 1 + 2\pi n = \pi + 2\pi n;$
$x = \frac{1}{2} (\pi + \pi n) = \frac{\pi}{2} + \pi n;$

Второе уравнение:
$\cos 2x = \frac{1}{4};$
$2x = \pm \arccos \frac{1}{4} + 2\pi n;$
$x = \frac{1}{2} \left( \pm \arccos \frac{1}{4} + 2\pi n \right) = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{4} + \pi n;$

Ответ:
$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n; \quad \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{4} + \pi n}.$

4)

$(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \cos x;$
$\cos^2 x + \sin^2 x + 2 \sin x \cdot \cos x = 1 + \cos x;$
$1 + 2 \sin x \cdot \cos x — 1 — \cos x = 0;$
$2 \sin x \cdot \cos x — \cos x = 0;$
$\cos x \cdot (2 \sin x — 1) = 0;$

Первое уравнение:
$\cos x = 0;$
$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$

Второе уравнение:
$2 \sin x — 1 = 0;$
$2 \sin x = 1;$
$\sin x = \frac{1}{2};$
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Ответ:
$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n; \quad (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}.$

1) $2 \sin^2 x = 1 + \frac{1}{3} \sin 4x$

Шаг 1: Используем формулы для синуса удвоенного угла

Мы знаем, что:

$$\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$$

Подставим это в исходное уравнение:

$$2 \sin^2 x = 1 + \frac{1}{3} \cdot 2 \sin 2x \cos 2x$$

Получим:

$$2 \sin^2 x = 1 + \frac{2}{3} \sin 2x \cos 2x$$

Шаг 2: Используем формулу для синуса удвоенного угла для $\sin 2x$

Также известно, что:

$$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$

Подставим это в уравнение:

$$2 \sin^2 x = 1 + \frac{2}{3} \cdot 2 \sin x \cos x \cdot \cos 2x$$

Шаг 3: Упростим и приведем к более удобной форме

После подстановки и приведения выражений, получаем:

$$2 \sin^2 x = 1 + \frac{2}{3} \sin 2x \cos 2x$$

Используем стандартные методы решения и получаем систему:

$$\cos 2x \left( \frac{2}{3} \sin 2x + 1 \right) = 0$$

Первое уравнение: $\cos 2x = 0$

Решение:

$$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Второе уравнение: $\frac{2}{3} \sin 2x + 1 = 0$

Решение:

$$\frac{2}{3} \sin 2x = -1$$ $$\sin 2x = -\frac{3}{2}$$

Так как $\sin 2x$ не может быть больше 1 по модулю, то корней нет.

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$

2) $2 \cos^2 2x — 1 = \sin 4x$

Шаг 1: Используем формулы для синуса удвоенного угла

Для $\sin 4x$ мы знаем:

$$\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$$

Подставляем это в уравнение:

$$2 \cos^2 2x — 1 = 2 \sin 2x \cos 2x$$

Шаг 2: Используем тригонометрические тождества

Приводим уравнение к виду:

$$1 + \cos 4x — 1 — \sin 4x = 0$$

Теперь мы имеем:

$$\cos 4x — \sin 4x = 0$$

Делим обе части на $\cos 4x$:

$$1 — \operatorname{tg} 4x = 0$$

Шаг 3: Решаем для $\operatorname{tg} 4x = 1$

$$\operatorname{tg} 4x = 1$$ $$4x = \operatorname{arctg} 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n$$ $$x = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{16} + \frac{\pi n}{4}}$$

3) $2 \cos^2 2x + 3 \cos^2 x = 2$

Шаг 1: Преобразуем выражение для $\cos^2 2x$

Преобразуем $\cos^2 x$ в более удобную форму, используя тригонометрическое тождество. Подставляем:

$$2 \cos^2 2x + \frac{3}{2} (1 + \cos 2x) = 2$$

Получаем:

$$2 \cos^2 2x + 1.5 + 1.5 \cos 2x — 2 = 0$$

Преобразуем в стандартный вид:

$$2 \cos^2 2x + 1.5 \cos 2x — 0.5 = 0$$

Шаг 2: Пусть $y = \cos 2x$, и решим квадратное уравнение

Получаем квадратное уравнение для $y$:

$$2y^2 + 1.5y — 0.5 = 0$$

Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

$$4y^2 + 3y — 1 = 0$$

Дискриминант:

$$D = 3^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-1) = 9 + 16 = 25$$

Решаем квадратное уравнение:

$$y_1 = \frac{-3 — 5}{2 \cdot 4} = -1, \quad y_2 = \frac{-3 + 5}{2 \cdot 4} = \frac{1}{4}$$

Шаг 3: Решаем для $\cos 2x = -1$ и $\cos 2x = \frac{1}{4}$

Для $\cos 2x = -1$:

$$2x = \pi + 2\pi n$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Для $\cos 2x = \frac{1}{4}$:

$$2x = \pm \arccos \frac{1}{4} + 2\pi n$$ $$x = \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n; \quad \pm \frac{1}{2} \arccos \frac{1}{4} + \pi n}$$

4) $(\sin x + \cos x)^2 = 1 + \cos x$

Шаг 1: Раскрываем квадрат и приводим уравнение

Раскрываем квадрат:

$$\sin^2 x + 2 \sin x \cos x + \cos^2 x = 1 + \cos x$$

Используем тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$$1 + 2 \sin x \cos x = 1 + \cos x$$

Шаг 2: Упрощаем уравнение

$$2 \sin x \cos x — \cos x = 0$$

Выносим $\cos x$:

$$\cos x (2 \sin x — 1) = 0$$

Первое уравнение: $\cos x = 0$

Решение:

$$x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Второе уравнение: $2 \sin x — 1 = 0$

Решение:

$$\sin x = \frac{1}{2}$$ $$x = (-1)^n \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{2} + \pi n; \quad (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$$