ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 629 Алимов — Подробные Ответы

1. корень 3 sin х cos x = sin2 x
2. 2 sin x cos x = cos x;
3. sin 4x + sin2 2x = 0;
4. sin 2x + 2 cos2 x = 0.

1) $\sqrt{3} \sin x \cdot \cos x = \sin^2 x$

$$\sqrt{3} \sin x \cdot \cos x — \sin^2 x = 0;$$ $$\sin x \cdot (\sqrt{3} \cos x — \sin x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sqrt{3} \cos x — \sin x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$\sqrt{3} — \operatorname{tg} x = 0;$$ $$\operatorname{tg} x = \sqrt{3};$$ $$x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Ответ: $\pi n$; $\frac{\pi}{3} + \pi n$.

2) $2 \sin x \cdot \cos x = \cos x$

$$2 \sin x \cdot \cos x — \cos x = 0;$$ $$\cos x \cdot (2 \sin x — 1) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos x = 0;$$ $$x = \operatorname{arctg} 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \sin x — 1 = 0;$$ $$2 \sin x = 1;$$ $$\sin x = \frac{1}{2};$$ $$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$; $(-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$.

3) $\sin 4x + \sin^2 2x = 0$

$$2 \cdot \sin 2x \cdot \cos 2x + \sin^2 2x = 0;$$ $$\sin 2x \cdot (2 \cos 2x + \sin 2x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \pi n = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$2 \cos 2x + \sin 2x = 0 \quad | : \cos 2x;$$ $$2 + \operatorname{tg} 2x = 0;$$ $$\operatorname{tg} 2x = -2;$$ $$2x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot (-\operatorname{arctg} 2 + \pi n) = -\frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2};$$

Ответ: $\frac{\pi n}{2}$; $-\frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2}$.

4) $\sin 2x + 2 \cos^2 x = 0$

$$2 \cdot \sin x \cdot \cos x + 2 \cos^2 x = 0;$$ $$2 \cos x \cdot (\sin x + \cos x) = 0;$$

Первое уравнение:

$$2 \cos x = 0;$$ $$\cos x = 0;$$ $$x = \operatorname{arccos} 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$\sin x + \cos x = 0 \quad | : \cos x;$$ $$\operatorname{tg} x + 1 = 0;$$ $$\operatorname{tg} x = -1;$$ $$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{2} + \pi n$; $-\frac{\pi}{4} + \pi n$.

1) $\sqrt{3} \sin x \cdot \cos x = \sin^2 x$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Исходное уравнение:

$$\sqrt{3} \sin x \cdot \cos x = \sin^2 x$$

Переносим все выражения на одну сторону:

$$\sqrt{3} \sin x \cdot \cos x — \sin^2 x = 0$$

Вынесем $\sin x$ за скобки:

$$\sin x \left( \sqrt{3} \cos x — \sin x \right) = 0$$

Это уравнение разделяется на два случая: либо $\sin x = 0$, либо $\sqrt{3} \cos x — \sin x = 0$.

Шаг 2: Решение первого уравнения $\sin x = 0$

Уравнение $\sin x = 0$ решается так:

$$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$ (целое число).

Шаг 3: Решение второго уравнения $\sqrt{3} \cos x — \sin x = 0$

Перепишем уравнение:

$$\sqrt{3} \cos x = \sin x$$

Теперь разделим обе части на $\cos x$ (при $\cos x \neq 0$):

$$\sqrt{3} = \operatorname{tg} x$$

Значит, $\operatorname{tg} x = \sqrt{3}$. Известно, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, поэтому:

$$x = \operatorname{arctg} \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

Ответ:

Решения уравнения:

$$x = \pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n$$

2) $2 \sin x \cdot \cos x = \cos x$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Исходное уравнение:

$$2 \sin x \cdot \cos x = \cos x$$

Переносим все выражения на одну сторону:

$$2 \sin x \cdot \cos x — \cos x = 0$$

Вынесем $\cos x$ за скобки:

$$\cos x \left( 2 \sin x — 1 \right) = 0$$

Это уравнение разделяется на два случая: либо $\cos x = 0$, либо $2 \sin x — 1 = 0$.

Шаг 2: Решение первого уравнения $\cos x = 0$

Уравнение $\cos x = 0$ решается так:

$$x = \operatorname{arccos} 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

где $n \in \mathbb{Z}$.

Шаг 3: Решение второго уравнения $2 \sin x — 1 = 0$

Уравнение $2 \sin x — 1 = 0$ решаем следующим образом:

$$2 \sin x = 1 \quad \Rightarrow \quad \sin x = \frac{1}{2}$$

Известно, что $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, поэтому:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

Решения уравнения:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{или} \quad x = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

3) $\sin 4x + \sin^2 2x = 0$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Исходное уравнение:

$$\sin 4x + \sin^2 2x = 0$$

Используем формулу для удвоенного угла $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ для $4x$:

$$\sin 4x = 2 \sin 2x \cdot \cos 2x$$

Тогда уравнение преобразуется в:

$$2 \sin 2x \cdot \cos 2x + \sin^2 2x = 0$$

Вынесем $\sin 2x$ за скобки:

$$\sin 2x \left( 2 \cos 2x + \sin 2x \right) = 0$$

Это уравнение разделяется на два случая: либо $\sin 2x = 0$, либо $2 \cos 2x + \sin 2x = 0$.

Шаг 2: Решение первого уравнения $\sin 2x = 0$

Уравнение $\sin 2x = 0$ решается так:

$$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$$ $$x = \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 3: Решение второго уравнения $2 \cos 2x + \sin 2x = 0$

Уравнение $2 \cos 2x + \sin 2x = 0$ разделим на $\cos 2x$ (при $\cos 2x \neq 0$):

$$2 + \operatorname{tg} 2x = 0$$ $$\operatorname{tg} 2x = -2$$

Из этого выражения:

$$2x = -\operatorname{arctg} 2 + \pi n$$

Тогда:

$$x = \frac{1}{2} \cdot (-\operatorname{arctg} 2 + \pi n) = -\frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

Решения уравнения:

$$x = \frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x = -\frac{1}{2} \operatorname{arctg} 2 + \frac{\pi n}{2}$$

4) $\sin 2x + 2 \cos^2 x = 0$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Исходное уравнение:

$$\sin 2x + 2 \cos^2 x = 0$$

Используем формулу для удвоенного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cdot \cos x$, получаем:

$$2 \sin x \cdot \cos x + 2 \cos^2 x = 0$$

Вынесем $2 \cos x$ за скобки:

$$2 \cos x \cdot (\sin x + \cos x) = 0$$

Это уравнение разделяется на два случая: либо $2 \cos x = 0$, либо $\sin x + \cos x = 0$.

Шаг 2: Решение первого уравнения $2 \cos x = 0$

Уравнение $2 \cos x = 0$ решается так:

$$\cos x = 0$$ $$x = \operatorname{arccos} 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 3: Решение второго уравнения $\sin x + \cos x = 0$

Уравнение $\sin x + \cos x = 0$ можно записать как:

$$\operatorname{tg} x = -1$$

Из этого:

$$x = -\operatorname{arctg} 1 + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

Решения уравнения:

$$x = \frac{\pi}{2} + \pi n \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$$