ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 628 Алимов — Подробные Ответы

1. (tgx- корень 3)(2sinx/12 +1)=0;
2. (1-корень 2 cosx/4)(1+ корень 3 tgx)=0;
3. (2sin(x+пи/6)-1)(2tgx+1)=0;
4. (1+корень 2 cos(x+пи/4))(tgx-3)=0.

$(\operatorname{tg} x — \sqrt{3})(2 \sin \frac{x}{12} + 1) = 0$;

Первое уравнение:

$$\operatorname{tg} x — \sqrt{3} = 0;$$ $$\operatorname{tg} x = \sqrt{3};$$ $$x = \arctg \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \sin \frac{x}{12} + 1 = 0;$$ $$2 \sin \frac{x}{12} = -1;$$ $$\sin \frac{x}{12} = -\frac{1}{2};$$ $$\frac{x}{12} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$$ $$x = 12 \cdot \left((-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n\right) = (-1)^{n+1} \cdot 2\pi + 12\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{3} + \pi n$; $(-1)^{n+1} \cdot 2\pi + 12\pi n$.

2. $\left(1 — \sqrt{2} \cos \frac{x}{4}\right)(1 + \sqrt{3} \operatorname{tg} x) = 0$;

Первое уравнение:

$$1 — \sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = 0;$$ $$\sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = 1;$$ $$\cos \frac{x}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$\frac{x}{4} = \pm \arccos \frac{1}{\sqrt{2}} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x = 4 \cdot \left(\pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n\right) = \pm \pi + 8\pi n;$$

Второе уравнение:

$$1 + \sqrt{3} \operatorname{tg} x = 0;$$ $$\sqrt{3} \operatorname{tg} x = -1;$$ $$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}};$$ $$x = -\arctg \frac{1}{\sqrt{3}} + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Ответ: $\pm \pi + 8\pi n$; $-\frac{\pi}{6} + \pi n$.

3. $\left(2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) — 1\right)(2 \operatorname{tg} x + 1) = 0$;

Первое уравнение:

$$2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) — 1 = 0;$$ $$2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1;$$ $$\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2};$$ $$\sin \left(\frac{\pi}{2} + \left(x — \frac{\pi}{3}\right)\right) = \frac{1}{2};$$ $$\cos \left(x — \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2};$$ $$x — \frac{\pi}{3} = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = 2\pi n;$$ $$x_2 = +\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{3} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$$

Второе уравнение:

$$2 \operatorname{tg} x + 1 = 0;$$ $$2 \operatorname{tg} x = -1;$$ $$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{2};$$ $$x = -\arctg \frac{1}{2} + \pi n;$$

Ответ: $2\pi n$; $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$; $-\arctg \frac{1}{2} + \pi n$.

4. $\left(1 + \sqrt{2} \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)(\operatorname{tg} x — 3) = 0$;

Первое уравнение:

$$1 + \sqrt{2} \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0;$$ $$\sqrt{2} \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -1;$$ $$\cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}};$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 2\pi n = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x_1 = -\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n;$$ $$x_2 = +\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad (\text{нет});$$

Второе уравнение:

$$\operatorname{tg} x — 3 = 0;$$ $$\operatorname{tg} x = 3;$$ $$x = \arctg 3 + \pi n;$$

Ответ: $-\pi + 2\pi n$; $\arctg 3 + \pi n$.

1) $(\operatorname{tg} x — \sqrt{3})(2 \sin \frac{x}{12} + 1) = 0$

Это уравнение раскладывается на два случая, так как произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Первое уравнение: $\operatorname{tg} x — \sqrt{3} = 0$

Решаем уравнение:

$$\operatorname{tg} x = \sqrt{3}.$$

Мы знаем, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, следовательно:

$$x = \arctg \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Таким образом, первое решение:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Второе уравнение: $2 \sin \frac{x}{12} + 1 = 0$

Переписываем уравнение:

$$2 \sin \frac{x}{12} = -1.$$

Разделим обе части на 2:

$$\sin \frac{x}{12} = -\frac{1}{2}.$$

Находим значения, при которых синус равен $-\frac{1}{2}$. Из тригонометрии известно, что $\sin \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$, поэтому:

$$\frac{x}{12} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \left(\frac{1}{2}\right) + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Умножаем обе части на 12, чтобы выразить $x$:

$$x = 12 \cdot \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \cdot 2\pi + 12\pi n.$$

Ответ для первого уравнения:

$$x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad x = (-1)^{n+1} \cdot 2\pi + 12\pi n.$$

2) $\left(1 — \sqrt{2} \cos \frac{x}{4}\right)(1 + \sqrt{3} \operatorname{tg} x) = 0$

Это также произведение двух выражений, при котором хотя бы одно из них должно быть равно нулю.

Первое уравнение: $1 — \sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = 0$

Переписываем уравнение:

$$\sqrt{2} \cos \frac{x}{4} = 1.$$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\cos \frac{x}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Известно, что $\cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, следовательно:

$$\frac{x}{4} = \pm \arccos \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n.$$

Умножаем обе части на 4:

$$x = 4 \cdot \left( \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = \pm \pi + 8\pi n.$$

Второе уравнение: $1 + \sqrt{3} \operatorname{tg} x = 0$

Решаем уравнение:

$$\sqrt{3} \operatorname{tg} x = -1,$$ $$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{\sqrt{3}}.$$

Известно, что $\operatorname{tg} \left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{\sqrt{3}}$, следовательно:

$$x = -\arctg \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n.$$

Ответ для второго уравнения:

$$x = \pm \pi + 8\pi n, \quad x = -\frac{\pi}{6} + \pi n.$$

3) $\left(2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) — 1\right)(2 \operatorname{tg} x + 1) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Первое уравнение: $2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) — 1 = 0$

Переписываем уравнение:

$$2 \sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1.$$

Разделим обе части на 2:

$$\sin \left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}.$$

Известно, что $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$, поэтому:

$$x + \frac{\pi}{6} = \pm \arcsin \left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n.$$

Выражаем $x$:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = 2\pi n \quad (\text{решение 1}).$$ $$x = +\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n \quad (\text{решение 2}).$$

Второе уравнение: $2 \operatorname{tg} x + 1 = 0$

Решаем уравнение:

$$2 \operatorname{tg} x = -1,$$ $$\operatorname{tg} x = -\frac{1}{2}.$$

Находим решение для $\operatorname{tg} x = -\frac{1}{2}$:

$$x = -\arctg \frac{1}{2} + \pi n.$$

Ответ для третьего уравнения:

$$x = 2\pi n, \quad x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad x = -\arctg \frac{1}{2} + \pi n.$$

4) $\left(1 + \sqrt{2} \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right)\right)(\operatorname{tg} x — 3) = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

Первое уравнение: $1 + \sqrt{2} \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = 0$

Переписываем уравнение:

$$\sqrt{2} \cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -1.$$

Разделим обе части на $\sqrt{2}$:

$$\cos \left(x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Известно, что $\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$, следовательно:

$$x + \frac{\pi}{4} = \pm \left(\pi — \arccos \frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 2\pi n = \pm \left(\pi — \frac{\pi}{4}\right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n.$$

Выражаем $x$:

$$x_1 = -\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = -\pi + 2\pi n,$$ $$x_2 = +\frac{3\pi}{4} — \frac{\pi}{4} + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \quad (\text{нет решения}).$$

Второе уравнение: $\operatorname{tg} x — 3 = 0$

1. Решаем уравнение:

   $$\operatorname{tg} x = 3.$$

2. Находим решение для $\operatorname{tg} x = 3$:

   $$x = \arctg 3 + \pi n.$$

Ответ для четвертого уравнения:

$$x = -\pi + 2\pi n, \quad x = \arctg 3 + \pi n.$$

Итоговые ответы:

1. $\frac{\pi}{3} + \pi n$; $(-1)^{n+1} \cdot 2\pi + 12\pi n$.
2. $\pm \pi + 8\pi n$; $-\frac{\pi}{6} + \pi n$.
3. $2\pi n$; $\frac{2\pi}{3} + 2\pi n$; $-\arctg \frac{1}{2} + \pi n$.
4. $-\pi + 2\pi n$; $\arctg 3 + \pi n$.