ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 626 Алимов — Подробные Ответы

1. cos x = cos3x;
2. sin 5x = sin x;
3. sin 2x = cos3x;
4. sin x + cos3x = 0.

$\cos x = \cos 3x$;

$$\cos 3x — \cos x = 0;$$ $$-2 \cdot \sin \frac{3x + x}{2} \cdot \sin \frac{3x — x}{2} = 0;$$ $$\sin \frac{4x}{2} \cdot \sin \frac{2x}{2} = 0;$$ $$\sin 2x \cdot \sin x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \pi n = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\sin x = 0;$$ $$x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi n}{2}$.

$\sin 5x = \sin x$;

$$\sin 5x — \sin x = 0;$$ $$2 \cdot \sin \frac{5x — x}{2} \cdot \cos \frac{5x + x}{2} = 0;$$ $$\sin \frac{4x}{2} \cdot \cos \frac{6x}{2} = 0;$$ $$\sin 2x \cdot \cos 3x = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin 2x = 0;$$ $$2x = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \pi n = \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos 3x = 0;$$ $$3x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3};$$

Ответ: $\frac{\pi n}{2}; \, \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$.

$\sin 2x = \cos 3x$;

$$\cos 3x — \sin 2x = 0;$$ $$\cos 3x — \sin \left( \frac{\pi}{2} + 2x — \frac{\pi}{2} \right) = 0;$$ $$\cos 3x — \cos \left( 2x — \frac{\pi}{2} \right) = 0;$$ $$-2 \cdot \sin \frac{3x + 2x — \frac{\pi}{2}}{2} \cdot \sin \frac{3x — 2x + \frac{\pi}{2}}{2} = 0;$$ $$\sin \frac{5x — \frac{\pi}{2}}{2} \cdot \sin \frac{x + \frac{\pi}{2}}{2} = 0;$$ $$\sin \left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\sin \left( \frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$\frac{5x}{2} — \frac{\pi}{4} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$\frac{5x}{2} = \pi n + \frac{\pi}{4};$$ $$x = \frac{2}{5} \cdot \left( \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5};$$

Второе уравнение:

$$\sin \left( \frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n;$$ $$\frac{x}{2} = \pi n — \frac{\pi}{4};$$ $$x = 2 \cdot \left( -\frac{\pi}{4} + \pi n \right) = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}; \, -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

$\sin x + \cos 3x = 0$;

$$\cos 3x + \sin \left( \frac{\pi}{2} + x — \frac{\pi}{2} \right) = 0;$$ $$\cos 3x + \cos \left( x — \frac{\pi}{2} \right) = 0;$$ $$2 \cdot \cos \frac{3x + x — \frac{\pi}{2}}{2} \cdot \cos \frac{3x — x + \frac{\pi}{2}}{2} = 0;$$ $$\cos \frac{4x — \frac{\pi}{2}}{2} \cdot \cos \frac{2x + \frac{\pi}{2}}{2} = 0;$$ $$\cos \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$

Первое уравнение:

$$\cos \left( 2x — \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$2x — \frac{\pi}{4} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$2x = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + \pi n = \frac{3\pi}{4} + \pi n;$$ $$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \frac{3\pi}{4} + \pi n \right) = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2};$$

Второе уравнение:

$$\cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = 0;$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + \pi n — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + \pi n;$$

Ответ: $\frac{3\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}; \, \frac{\pi}{4} + \pi n$.

Задача 1

Уравнение:

$$\cos x = \cos 3x$$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Рассмотрим выражение:

$$\cos x = \cos 3x$$

Для решения этого уравнения воспользуемся формулой для разности косинусов:

$$\cos A — \cos B = -2 \cdot \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применяем к нашему уравнению:

$$\cos 3x — \cos x = 0$$

Используем формулу:

$$-2 \cdot \sin \left( \frac{3x + x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{3x — x}{2} \right) = 0$$

Приводим к более простому виду:

$$-2 \cdot \sin \left( \frac{4x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{2x}{2} \right) = 0$$ $$-2 \cdot \sin 2x \cdot \sin x = 0$$

Теперь у нас есть произведение двух синусов, которое равно нулю. Это означает, что хотя бы один из множителей должен быть равен нулю:

$$\sin 2x = 0 \quad \text{или} \quad \sin x = 0$$

Шаг 2: Решение первого уравнения $\sin 2x = 0$

Решаем уравнение:

$$\sin 2x = 0$$

Это выражение равно нулю, когда $2x = \pi n$, где $n$ — целое число. Тогда:

$$x = \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 3: Решение второго уравнения $\sin x = 0$

Решаем уравнение:

$$\sin x = 0$$

Это выражение равно нулю, когда $x = \pi n$, где $n$ — целое число.

Ответ:

$$x = \frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x = \pi n$$

Таким образом, решение уравнения $\cos x = \cos 3x$ — это значения:

$$x = \frac{\pi n}{2}$$

Задача 2

Уравнение:

$$\sin 5x = \sin x$$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Используем идентичность для разности синусов:

$$\sin A — \sin B = 2 \cdot \cos \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применяем её к нашему уравнению:

$$\sin 5x — \sin x = 0$$

Получаем:

$$2 \cdot \cos \left( \frac{5x + x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{5x — x}{2} \right) = 0$$

Упростим:

$$2 \cdot \cos \left( \frac{6x}{2} \right) \cdot \sin \left( \frac{4x}{2} \right) = 0$$ $$2 \cdot \cos 3x \cdot \sin 2x = 0$$

Это произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому решаем два уравнения:

$$\cos 3x = 0 \quad \text{или} \quad \sin 2x = 0$$

Шаг 2: Решение уравнения $\cos 3x = 0$

Решаем:

$$\cos 3x = 0$$

Косинус равен нулю при $3x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число. Тогда:

$$x = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

Шаг 3: Решение уравнения $\sin 2x = 0$

Решаем:

$$\sin 2x = 0$$

Синус равен нулю при $2x = \pi n$, где $n$ — целое число. Тогда:

$$x = \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{3}$$

Задача 3

Уравнение:

$$\sin 2x = \cos 3x$$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Перепишем уравнение с помощью тригонометрической идентичности для $\cos$:

$$\cos 3x = \sin \left( \frac{\pi}{2} + 3x \right)$$

Получаем:

$$\sin 2x = \sin \left( \frac{\pi}{2} + 3x \right)$$

Решаем это уравнение с помощью формулы для равенства синусов:

$$\sin A = \sin B \quad \Rightarrow \quad A = B + 2\pi n \quad \text{или} \quad A = \pi — B + 2\pi n$$

Шаг 2: Решение первого случая $2x = \frac{\pi}{2} + 3x + 2\pi n$

Приводим к более простому виду:

$$2x — 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$ $$-x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$ $$x = -\frac{\pi}{2} — 2\pi n$$

Шаг 3: Решение второго случая $2x = \pi — \left( \frac{\pi}{2} + 3x \right) + 2\pi n$

Приводим к более простому виду:

$$2x = \pi — \frac{\pi}{2} — 3x + 2\pi n$$ $$5x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$ $$x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{2} — 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{10} + \frac{2\pi n}{5}$$

Задача 4

Уравнение:

$$\sin x + \cos 3x = 0$$

Шаг 1: Преобразование уравнения

Используем тригонометрическое тождество:

$$\cos 3x = \sin \left( \frac{\pi}{2} + 3x \right)$$

Таким образом, уравнение становится:

$$\sin x + \sin \left( \frac{\pi}{2} + 3x \right) = 0$$

Шаг 2: Использование формулы для суммы синусов

Используем формулу для суммы синусов:

$$\sin A + \sin B = 2 \cdot \sin \left( \frac{A + B}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{A — B}{2} \right)$$

Применяем её:

$$2 \cdot \sin \left( \frac{x + \left( \frac{\pi}{2} + 3x \right)}{2} \right) \cdot \cos \left( \frac{x — \left( \frac{\pi}{2} + 3x \right)}{2} \right) = 0$$

Шаг 3: Разрешение на два уравнения

Произведение синуса и косинуса равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Рассмотрим два случая:

1. $\sin \left( \frac{x + \frac{\pi}{2} + 3x}{2} \right) = 0$
2. $$\cos \left( \frac{x — \frac{\pi}{2} — 3x}{2} \right) = 0$$

Шаг 4: Решение первого уравнения

$$\sin \left( \frac{4x + \frac{\pi}{2}}{2} \right) = 0$$

Это уравнение равно нулю, когда:

$$4x + \frac{\pi}{2} = 2\pi n$$ $$4x = 2\pi n — \frac{\pi}{2}$$ $$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2}$$

Шаг 5: Решение второго уравнения

$$\cos \left( \frac{-2x + \frac{\pi}{2}}{2} \right) = 0$$

Это уравнение равно нулю, когда:

$$-2x + \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi n$$ $$-2x = \pi n$$ $$x = -\frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x = -\frac{\pi n}{2}$$