ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 625 Алимов — Подробные Ответы

1. sin x — cos x = 1;
2. sin x + cos x = 1;
3. корень 3 sinx + cosx = 2;
4. sin 3x + cos 3x = корень 2.

Задача 1:

$$\sin x — \cos x = 1 \quad \left| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right.;$$ $$\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$-\cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n;$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x_1 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n — \frac{\pi}{4} = -\pi + 2\pi n;$$ $$x_2 = +\frac{3\pi}{4} + 2\pi n — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $-\pi + 2\pi n; \, \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Задача 2:

$$\sin x + \cos x = 1 \quad \left| \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \right.;$$ $$\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2};$$ $$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n + \frac{\pi}{4} = 2\pi n;$$ $$x_2 = +\frac{\pi}{4} + 2\pi n + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$

Ответ: $2\pi n; \, \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Задача 3:

$$\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2 \quad \left| : 2 \right.;$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = 1;$$ $$\cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos x = 1;$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{6} + x \right) = 1;$$ $$x + \frac{\pi}{6} = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi — \pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$$

Ответ: $\frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Задача 4:

$$\sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2} \quad \left| : \sqrt{2} \right.;$$ $$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 3x + \cos 3x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1;$$ $$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin 3x + \cos 3x \cdot \sin \frac{\pi}{4} = 1;$$ $$\sin \left( \frac{\pi}{4} + 3x \right) = 1;$$ $$3x + \frac{\pi}{4} = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n;$$ $$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n;$$ $$x = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ: $\frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$.

Задача 1: $\sin x — \cos x = 1$

Шаг 1: Умножение на $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Мы начинаем с того, что умножаем обе стороны на $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Это помогает нам привести выражение к более удобному виду для применения формул.

$$\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — \cos x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} — \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 2: Использование формул для синуса и косинуса

Теперь используем формулы для синуса и косинуса суммы углов. Мы знаем, что:

$$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$$

Тогда выражение становится следующим:

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Здесь мы распознали, что $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это значение $\cos \frac{\pi}{4}$ и $\sin \frac{\pi}{4}$. Теперь можно записать в виде:

$$\cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Решение уравнения $\cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Для того чтобы решить это уравнение, нужно вспомнить, что $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ для углов $\theta = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, где $n$ — целое число. Это значит, что:

$$x + \frac{\pi}{4} = \pm \left( \pi — \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} \right) + 2\pi n$$

Так как $\arccos \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, то:

$$x + \frac{\pi}{4} = \pm \left( \pi — \frac{\pi}{4} \right) + 2\pi n$$ $$x + \frac{\pi}{4} = \pm \frac{3\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 4: Получение окончательных решений

Теперь решаем для $x$:

Для $x_1$:

$$x_1 = -\frac{3\pi}{4} + 2\pi n — \frac{\pi}{4} = -\pi + 2\pi n$$

Для $x_2$:

$$x_2 = +\frac{3\pi}{4} + 2\pi n — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ: $x_1 = -\pi + 2\pi n$, $x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Задача 2: $\sin x + \cos x = 1$

Шаг 1: Умножение на $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Аналогично предыдущей задаче, умножаем обе стороны на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:

$$\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$\sin x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 2: Используем формулы для синуса и косинуса

Подставляем значения $\sin \frac{\pi}{4}$ и $\cos \frac{\pi}{4}$, получая:

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \cos x + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Это упрощается в:

$$\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Шаг 3: Решение уравнения $\cos \left( x — \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Зная, что $\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{2}$ для углов $\theta = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$, получаем:

$$x — \frac{\pi}{4} = \pm \arccos \frac{\sqrt{2}}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$

Шаг 4: Получение окончательных решений

Для $x_1$:

$$x_1 = -\frac{\pi}{4} + 2\pi n + \frac{\pi}{4} = 2\pi n$$

Для $x_2$:

$$x_2 = +\frac{\pi}{4} + 2\pi n + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ: $x_1 = 2\pi n$, $x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.

Задача 3: $\sqrt{3} \sin x + \cos x = 2$

Шаг 1: Делим обе стороны на 2

Для удобства делим обе стороны уравнения на 2:

$$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x + \frac{1}{2} \cos x = 1$$

Шаг 2: Используем формулы для синуса и косинуса

Распознаем значения $\cos \frac{\pi}{6}$ и $\sin \frac{\pi}{6}$, чтобы привести выражение к удобному виду:

$$\cos \frac{\pi}{6} \cdot \sin x + \sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos x = 1$$

Теперь у нас получается:

$$\sin \left( \frac{\pi}{6} + x \right) = 1$$

Шаг 3: Решение уравнения $\sin \left( \frac{\pi}{6} + x \right) = 1$

Зная, что $\sin \theta = 1$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, получаем:

$$\frac{\pi}{6} + x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$ $$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n — \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi — \pi}{6} + 2\pi n = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$.

Задача 4: $\sin 3x + \cos 3x = \sqrt{2}$

Шаг 1: Делим обе стороны на $\sqrt{2}$

Делим обе стороны на $\sqrt{2}$ для удобства:

$$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sin 3x + \cos 3x \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 1$$

Шаг 2: Используем формулы для синуса и косинуса

Подставляем значения $\cos \frac{\pi}{4}$ и $\sin \frac{\pi}{4}$:

$$\cos \frac{\pi}{4} \cdot \sin 3x + \sin \frac{\pi}{4} \cdot \cos 3x = 1$$

Это упрощается в:

$$\sin \left( \frac{\pi}{4} + 3x \right) = 1$$

Шаг 3: Решение уравнения $\sin \left( \frac{\pi}{4} + 3x \right) = 1$

Известно, что $\sin \theta = 1$ при $\theta = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, следовательно:

$$\frac{\pi}{4} + 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$ $$3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n — \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi n$$ $$x = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\pi}{4} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$$

Ответ: $x = \frac{\pi}{12} + \frac{2\pi n}{3}$.