ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 620 Алимов — Подробные Ответы

Решить уравнение (620—644).

1. sin2x = 1/4;
2. cos2x=1/2;
3. 2xin2x + sinx-1=0;
4. 2cos2x+cos-6=0.

Задача 1:

$\sin^2 x = \frac{1}{4};$

Используем формулу половинного угла:
$\frac{1 — \cos 2x}{2} = \frac{1}{4};$

Умножаем обе части на 2:
$1 — \cos 2x = \frac{1}{2};$

Переносим $\cos 2x$ в правую часть:
$4(1 — \cos 2x) = 2;$
$4 — 4\cos 2x = 2;$
$4\cos 2x = 4 — 2;$
$\cos 2x = \frac{1}{2};$

Решаем уравнение $\cos 2x = \frac{1}{2}$:
$2x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n;$

Делим на 2:
$x = \frac{1}{2} \left( \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n \right) = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Ответ:
$\boxed{\pm \frac{\pi}{6} + \pi n}$

Задача 2:

$\cos^2 x = \frac{1}{2};$

Используем формулу половинного угла:
$\frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{2};$

Умножаем обе части на 2:
$1 + \cos 2x = 1;$

Переносим 1 в левую часть:
$\cos 2x = 0;$

Решаем уравнение $\cos 2x = 0$:
$2x = \arccos 0 + \pi n = \frac{\pi}{2} + \pi n;$

Делим на 2:
$x = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} + \pi n \right) = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2};$

Ответ:
$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$

Задача 3:

$2\sin^2 x + \sin x — 1 = 0;$

Пусть $y = \sin x$, тогда:
$2y^2 + y — 1 = 0;$

Находим дискриминант:
$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9;$

Находим корни квадратного уравнения:
$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 — 3}{4} = -1;$
$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2};$

Первое уравнение:
$\sin x = -1;$
$x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n;$

Второе уравнение:
$\sin x = \frac{1}{2};$
$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n;$

Ответ:
$\boxed{-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \, (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$

Задача 4:

$2\cos^2 x + \cos x — 6 = 0;$

Пусть $y = \cos x$, тогда:
$2y^2 + y — 6 = 0;$

Находим дискриминант:
$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49;$

Находим корни квадратного уравнения:
$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 — 7}{4} = -2;$
$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2};$

Так как $|y| > 1$, то корней нет.

Ответ:
$\boxed{{\displaystyle \text{корней нет}}}$

Задача 1:

$$\sin^2 x = \frac{1}{4}$$

Шаг 1: Используем формулу половинного угла для синуса:

$$\sin^2 x = \frac{1 — \cos 2x}{2}$$

Подставляем это в уравнение:

$$\frac{1 — \cos 2x}{2} = \frac{1}{4}$$

Шаг 2: Умножаем обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$1 — \cos 2x = \frac{1}{2}$$

Шаг 3: Переносим $\cos 2x$ на правую часть, а остальные члены — на левую:

$$1 — \frac{1}{2} = \cos 2x$$ $$\cos 2x = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Решаем уравнение $\cos 2x = \frac{1}{2}$.

Значение $\cos \theta = \frac{1}{2}$ принимает два значения для угла $\theta$ в интервале $[0, 2\pi]$:

$$\theta = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

где $n$ — целое число, потому что косинус имеет период $2\pi$.

Подставляем это для $2x$:

$$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$$

Шаг 5: Разделим обе части на 2, чтобы найти значения $x$:

$$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{\pm \frac{\pi}{6} + \pi n}$$

Задача 2:

$$\cos^2 x = \frac{1}{2}$$

Шаг 1: Используем формулу половинного угла для косинуса:

$$\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}$$

Подставляем это в уравнение:

$$\frac{1 + \cos 2x}{2} = \frac{1}{2}$$

Шаг 2: Умножаем обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

$$1 + \cos 2x = 1$$

Шаг 3: Переносим $1$ в правую часть:

$$\cos 2x = 0$$

Шаг 4: Решаем уравнение $\cos 2x = 0$.

Значение $\cos \theta = 0$ достигается при:

$$\theta = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

где $n$ — целое число.

Подставляем это для $2x$:

$$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$$

Шаг 5: Разделим обе части на 2, чтобы найти значения $x$:

$$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$$

Ответ:

$$\boxed{\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}}$$

Задача 3:

$$2\sin^2 x + \sin x — 1 = 0$$

Шаг 1: Пусть $y = \sin x$, тогда уравнение превращается в квадратное:

$$2y^2 + y — 1 = 0$$

Шаг 2: Находим дискриминант для квадратного уравнения:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$$

Шаг 3: Находим корни квадратного уравнения с помощью формулы:

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 — 3}{4} = -1$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{1}{2}$$

Шаг 4: Подставляем найденные корни в $y = \sin x$.

Для первого корня $y_1 = -1$:

$$\sin x = -1$$

Решение этого уравнения:

$$x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Для второго корня $y_2 = \frac{1}{2}$:

$$\sin x = \frac{1}{2}$$

Решение этого уравнения:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n$$

Ответ:

$$\boxed{-\frac{\pi}{2} + 2\pi n; \, (-1)^n \cdot \frac{\pi}{6} + \pi n}$$

Задача 4:

$$2\cos^2 x + \cos x — 6 = 0$$

Шаг 1: Пусть $y = \cos x$, тогда уравнение превращается в квадратное:

$$2y^2 + y — 6 = 0$$

Шаг 2: Находим дискриминант для квадратного уравнения:

$$D = 1^2 — 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 1 + 48 = 49$$

Шаг 3: Находим корни квадратного уравнения с помощью формулы:

$$y_1 = \frac{-1 — \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 — 7}{4} = -2$$ $$y_2 = \frac{-1 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 7}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$

Шаг 4: Поскольку $|\cos x| \leq 1$, то корни $y_1 = -2$ и $y_2 = \frac{3}{2}$ не могут быть решениями, так как значения косинуса выходят за допустимые пределы.

Ответ:

$$\boxed{\text{корней нет}}$$