ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 619 Алимов — Подробные Ответы

С помощью микрокалькулятора решить уравнение:

1. tg х = 9;
2. tgx = -7,8.

1. $\operatorname{tg} x = 9$;
   $x = \operatorname{arctg} 9 + \pi n$;
   $x \approx 1,4601 + \pi n$
2. $\operatorname{tg} x = -7,8$;
   $x = \operatorname{arctg}(-7,8) + \pi n$;
   $x = -\operatorname{arctg}(7,8) + \pi n$;
   $x \approx -1,4432 + \pi n$

Задача 1. $\operatorname{tg} x = 9$

Шаг 1: Применение арктангенса

Мы знаем, что $\operatorname{tg} x = 9$. Нам нужно найти все возможные значения угла $x$, для которых это верно.

Для этого используем обратную функцию тангенса — арктангенс. Арктангенс $\operatorname{arctg} y$ дает угол $x$, такой что $\operatorname{tg} x = y$

Тогда:

$$x = \operatorname{arctg} 9.$$

Шаг 2: Понимание арктангенса

Арктангенс дает только один основной угол, который лежит в интервале $(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то есть в первой или четвертой четверти.

Таким образом, $x = \operatorname{arctg} 9$ — это угол, такой что его тангенс равен $9$, и он находится в интервале от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$.

Шаг 3: Основное решение

Для вычисления числового значения угла $x$ можем воспользоваться калькулятором:

$$x \approx \operatorname{arctg} 9 \approx 1,4601 \, \text{радиан}.$$

Шаг 4: Общее решение

Так как тангенс имеет период $\pi$, то все решения уравнения $\operatorname{tg} x = 9$ можно записать в виде:

$$x = \operatorname{arctg} 9 + \pi n,$$

где $n$ — целое число, учитывающее все возможные периоды функции.

Таким образом, общее решение для задачи 1:

$$x = 1,4601 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Задача 2. $\operatorname{tg} x = -7,8$

Шаг 1: Применение арктангенса

У нас есть уравнение $\operatorname{tg} x = -7,8$. Нам нужно найти все углы $x$, для которых это уравнение верно.

Применяем арктангенс к обеим частям:

$$x = \operatorname{arctg}(-7,8).$$

Шаг 2: Понимание арктангенса

Поскольку $\operatorname{arctg} y$ дает угол $x$ в интервале $(- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, то $\operatorname{arctg}(-7,8)$ будет отрицательным углом. Арктангенс $-7,8$ означает, что тангенс этого угла равен $-7,8$, а сам угол лежит в четвертой четверти (между $-\frac{\pi}{2}$ и 0).

Шаг 3: Основное решение

Вычислим значение $\operatorname{arctg}(-7,8)$:

$$x \approx \operatorname{arctg}(-7,8) \approx -1,4432 \, \text{радиан}.$$

Шаг 4: Общее решение

Как и в предыдущем случае, тангенс имеет период $\pi$, поэтому общее решение будет записываться как:

$$x = \operatorname{arctg}(-7,8) + \pi n = -1,4432 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Шаг 5: Альтернативное представление

Тангенс $-7,8$ — это то же самое, что $-\operatorname{arctg}(7,8)$, так как:

$$\operatorname{arctg}(-7,8) = -\operatorname{arctg}(7,8).$$

Поэтому решение можно записать также так:

$$x = -\operatorname{arctg}(7,8) + \pi n.$$

Шаг 6: Итоговое решение

Общее решение задачи 2:

$$x = -1,4432 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

Заключение

Мы разобрали два уравнения с тангенсом и нашли их решения:

1. Для $\operatorname{tg} x = 9$:

   $$x = 1,4601 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}.$$

2. Для $\operatorname{tg} x = -7,8$:

   $$x = -1,4432 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z},$$

   или эквивалентно:

   $$x = -\operatorname{arctg}(7,8) + \pi n.$$

Эти решения учитывают все возможные значения угла, которые могут привести к заданному значению тангенса.