ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Учебник 📕 Алимов — Все Части

Алгебра

10-11 класс учебник Алимов

10 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, М.В. Ткачева.

Год

2015-2024.

Издательство

Просвещение.

Описание

Учебник «Алгебра» для 10-11 классов под авторством Алимова – это один из наиболее популярных и широко используемых учебных пособий для старшеклассников. Он заслужил признание как среди учителей, так и среди учеников благодаря своей структурированности, доступности изложения и качественной проработке материала.

Учебник охватывает весь необходимый курс алгебры для 10-11 классов, включая такие сложные темы, как производные, интегралы, логарифмы и элементы математического анализа. Материал представлен последовательно и логично, что позволяет ученикам постепенно углубляться в изучение предмета. Пособие включает как теоретическую часть, так и большое количество практических заданий различного уровня сложности, что способствует закреплению знаний.

Одной из главных особенностей учебника является наличие задач повышенной сложности, которые стимулируют развитие логического мышления и навыков решения нестандартных задач. Кроме того, в книге представлены примеры из реальной жизни, что делает изучение алгебры более интересным и прикладным.

Преимущества учебника

Четкая структура материала
Учебник разделен на главы и параграфы с последовательным изложением тем. Это позволяет ученикам легко ориентироваться в содержании и возвращаться к ранее изученным темам для повторения.
Пошаговые объяснения
Каждая новая тема сопровождается подробными примерами с пошаговым решением. Это помогает ученикам лучше понять алгоритмы выполнения задач.
Разнообразие упражнений
В учебнике представлены задачи разного уровня сложности: от базовых до олимпиадных. Это делает пособие полезным как для обычных школьников, так и для тех, кто готовится к экзаменам или олимпиадам.
Практическая направленность
Включение задач из реальной жизни (например, расчет процентов или использование математических моделей) помогает ученикам видеть практическое применение алгебры.
Подготовка к ЕГЭ
Учебник содержит задания, аналогичные тем, которые встречаются на ЕГЭ, что делает его отличным инструментом для подготовки к экзаменам.

Учебник «Алгебра» Алимова для 10-11 классов – это надежный помощник в изучении математики. Он подходит как для базового освоения предмета, так и для углубленного изучения. Благодаря четкой структуре, разнообразию заданий и ориентации на экзамены, данный учебник является одним из лучших выборов для старшеклассников.

ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 618 Алимов — Подробные Ответы

Задача

Доказать, что при любом действительном значении а справедливо равенство cos (arctg а) = 1/ корень (1+a2).

Краткий ответ:

Доказать справедливость равенства для любых значений $a$ :

$\cos (arctg a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^{2}}};$ $\cos^{2} (arctg a) = \frac{1}{1 + a^{2}};$ $\frac{1}{1 + {tg}^{2} (arctg a)} = \frac{1}{1 + a^{2}};$ $\frac{1}{1 + a^{2}} = \frac{1}{1 + a^{2}} .$

Тождество доказано.

Подробный ответ:

Нам нужно доказать, что:

$\cos (arctg a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^{2}}},$ $\cos^{2} (arctg a) = \frac{1}{1 + a^{2}},$ $\frac{1}{1 + {tg}^{2} (arctg a)} = \frac{1}{1 + a^{2}},$ $\frac{1}{1 + a^{2}} = \frac{1}{1 + a^{2}} .$

Шаг 1. Понимание выражений

$arctg a$ — это угол $θ$ , такой что $tg θ = a$ . То есть, $θ = arctg a$ — это угол, тангенс которого равен $a$ .

Основные тригонометрические тождества:

$\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1$ .
$tg θ = \frac{\sin θ}{\cos θ}$ .

Шаг 2. Доказательство первого равенства

Мы начинаем с доказательства:

$\cos (arctg a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^{2}}} .$

Пусть $θ = arctg a$ , тогда:

$tg θ = a .$

Представим треугольник с углом $θ$ , где $tg θ = a$ , то есть отношение противоположной стороны к прилежащей равно $a$ . Пусть противоположная сторона равна $a$ , а прилежащая — $1$ .

Используем теорему Пифагора для нахождения гипотенузы. Гипотенуза $h$ будет:

$h = \sqrt{1^{2} + a^{2}} = \sqrt{1 + a^{2}} .$

Тогда, по определению косинуса:

$\cos θ = \frac{прилежащая сторона}{гипотенуза} = \frac{1}{\sqrt{1 + a^{2}}} .$

Таким образом, мы доказали первое равенство:

$\cos (arctg a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^{2}}} .$

Шаг 3. Доказательство второго равенства

Теперь переходим ко второму равенству:

$\cos^{2} (arctg a) = \frac{1}{1 + a^{2}} .$

Из первого равенства знаем, что:

$\cos (arctg a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^{2}}} .$

Возводим обе части в квадрат:

$\cos^{2} (arctg a) = {(\frac{1}{\sqrt{1 + a^{2}}})}^{2} = \frac{1}{1 + a^{2}} .$

Это и есть требуемое равенство:

$\cos^{2} (arctg a) = \frac{1}{1 + a^{2}} .$

Шаг 4. Доказательство третьего равенства

Теперь рассматриваем третье равенство:

$\frac{1}{1 + {tg}^{2} (arctg a)} = \frac{1}{1 + a^{2}} .$

Из определения $arctg a$ знаем, что:

$tg (arctg a) = a .$

Подставляем это в левую часть выражения:

$\frac{1}{1 + {tg}^{2} (arctg a)} = \frac{1}{1 + a^{2}} .$

Это и есть нужное равенство.

Шаг 5. Доказательство последнего равенства

Наконец, у нас остается последнее равенство:

$\frac{1}{1 + a^{2}} = \frac{1}{1 + a^{2}} .$

Это очевидное тождество, так как обе части выражения одинаковы.

Заключение

Таким образом, мы доказали все четыре равенства:

$\cos (arctg a) = \frac{1}{\sqrt{1 + a^{2}}}$ ,
$\cos^{2} (arctg a) = \frac{1}{1 + a^{2}}$ ,
$\frac{1}{1 + {tg}^{2} (arctg a)} = \frac{1}{1 + a^{2}}$ ,
$\frac{1}{1 + a^{2}} = \frac{1}{1 + a^{2}}$ .

Тождество доказано.

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра