ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 613 Алимов — Подробные Ответы

Найти наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения 3 tg х — корень 3 = 0.

$$3 \operatorname{tg} x — \sqrt{3} = 0;$$ $$3 \operatorname{tg} x = \sqrt{3};$$ $$\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3};$$ $$x = \operatorname{arctg} \frac{\sqrt{3}}{3} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n;$$

Наименьший положительный корень уравнения:

$$x_{\text{min}} = \frac{\pi}{6} + 0 = \frac{\pi}{6};$$

Наибольший отрицательный корень уравнения:

$$x_{\text{max}} = \frac{\pi}{6} — \pi = -\frac{5\pi}{6};$$

Необходимо решить уравнение:

$$3 \operatorname{tg} x — \sqrt{3} = 0$$

Шаг 1: Изолируем $\operatorname{tg} x$

Начнем с того, что перенесем все, что не связано с $\operatorname{tg} x$, в правую часть уравнения.

$$3 \operatorname{tg} x = \sqrt{3}$$

Теперь разделим обе части уравнения на 3, чтобы выразить $\operatorname{tg} x$:

$$\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$$

Шаг 2: Применим арктангенс

Теперь, когда мы знаем, что $\operatorname{tg} x = \frac{\sqrt{3}}{3}$, мы можем найти $x$, взяв арктангенс обеих частей:

$$x = \operatorname{arctg} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right) + \pi n$$

Зная, что $\operatorname{tg} \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$, мы можем заменить $\operatorname{arctg} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \right)$ на $\frac{\pi}{6}$, получая:

$$x = \frac{\pi}{6} + \pi n$$

где $n$ — целое число, так как $\operatorname{tg}$ имеет период $\pi$.

Шаг 3: Наименьший положительный корень

Чтобы найти наименьший положительный корень, подставим $n = 0$ в найденное выражение для $x$:

$$x_{\text{min}} = \frac{\pi}{6} + 0 = \frac{\pi}{6}$$

Таким образом, наименьший положительный корень уравнения равен $\frac{\pi}{6}$.

Шаг 4: Наибольший отрицательный корень

Для нахождения наибольшего отрицательного корня нам нужно выбрать наибольшее отрицательное значение $n$. Для этого подставим $n = -1$:

$$x_{\text{max}} = \frac{\pi}{6} — \pi = -\frac{5\pi}{6}$$

Таким образом, наибольший отрицательный корень уравнения равен $-\frac{5\pi}{6}$.

Ответ:

Наименьший положительный корень уравнения:

$$x_{\text{min}} = \frac{\pi}{6}$$

Наибольший отрицательный корень уравнения:

$$x_{\text{max}} = -\frac{5\pi}{6}$$