ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 612 Алимов — Подробные Ответы

1. (tgx-1)(tgx+ корень 3)=0;
2. (корень 3 tgx + 1)(tgx — корень 3)=0;
3. (tgx-2)(2cos-1)=0;
4. (tgx-4,5)(1+2sinx)=0;
5. (tgx+4)(tgx/2-1)=0;
6. (tgx/6+1)(tgx-1)=0.

1. $(\mathrm{tg}x-1)(\mathrm{tg}x+\sqrt{3})=0$;
   Первое уравнение:
   $\mathrm{tg}x-1=0$;
   $\mathrm{tg}x=1$;
   $x=\mathrm{arctg}1+\pi n=\frac{\pi }{4}+\pi n$;
   Второе уравнение:
   $\mathrm{tg}x+\sqrt{3}=0$;
   $\mathrm{tg}x=-\sqrt{3}$;
   $x=-\mathrm{arctg}\sqrt{3}+\pi n=-\frac{\pi }{3}+\pi n$;
   Ответ: $\frac{\pi }{4}+\pi n$; $-\frac{\pi }{3}+\pi n$.
2. $(\sqrt{3}\mathrm{tg}x+1)(\mathrm{tg}x-\sqrt{3})=0$;
   Первое уравнение:
   $\sqrt{3}\mathrm{tg}x+1=0$;
   $\sqrt{3}\mathrm{tg}x=-1$;
   $\mathrm{tg}x=-\frac{1}{\sqrt{3}}$;
   $x=-\mathrm{arctg}\frac{1}{\sqrt{3}}+\pi n=-\frac{\pi }{6}+\pi n$;
   Второе уравнение:
   $\mathrm{tg}x-\sqrt{3}=0$;
   $\mathrm{tg}x=\sqrt{3}$;
   $x=\mathrm{arctg}\sqrt{3}+\pi n=\frac{\pi }{3}+\pi n$;
   Ответ: $-\frac{\pi }{6}+\pi n$; $\frac{\pi }{3}+\pi n$.
3. $(\mathrm{tg}x-2)(2\cos x-1)=0$;
   Первое уравнение:
   $\mathrm{tg}x-2=0$;
   $\mathrm{tg}x=2$;
   $x=\mathrm{arctg}2+\pi n$;
   Второе уравнение:
   $2\cos x-1=0$;
   $2\cos x=1$;
   $\cos x=\frac{1}{2}$;
   $x=\pm \arccos \frac{1}{2}+2\pi n=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$;
   Ответ: $\mathrm{arctg}2+\pi n$; $\pm \frac{\pi }{3}+2\pi n$.
4. $(\mathrm{tg}x-4,5)(1+2\sin x)=0$;
   Первое уравнение:
   $\mathrm{tg}x-4,5=0$;
   $\mathrm{tg}x=4,5$;
   $x=\mathrm{arctg}4,5+\pi n$;
   Второе уравнение:
   $1+2\sin x=0$;
   $2\sin x=-1$;
   $\sin x=-\frac{1}{2}$;
   $x=(-1{)}^{n+1}\cdot \arcsin \frac{1}{2}+\pi n=(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$;
   Ответ: $\mathrm{arctg}4,5+\pi n$; $(-1{)}^{n+1}\cdot \frac{\pi }{6}+\pi n$.
5. $(\mathrm{tg}x+4)(\mathrm{tg}\frac{x}{2}-1)=0$;
   Первое уравнение:
   $\mathrm{tg}x+4=0$;
   $\mathrm{tg}x=-4$;
   $x=-\mathrm{arctg}4+\pi n$;
   Второе уравнение:
   $\mathrm{tg}\frac{x}{2}-1=0$;
   $\mathrm{tg}\frac{x}{2}=1$;
   $\frac{x}{2}=\mathrm{arctg}1+\pi n=\frac{\pi }{4}+\pi n$;
   $x=2(\frac{\pi }{4}+\pi n)=\frac{\pi }{2}+2\pi n$ — нет;
   Ответ: $-\mathrm{arctg}4+\pi n$.
6. $(\mathrm{tg}\frac{x}{6}+1)(\mathrm{tg}x-1)=0$;
   Первое уравнение:
   $\mathrm{tg}\frac{x}{6}+1=0$;
   $\mathrm{tg}\frac{x}{6}=-1$;
   $\frac{x}{6}=-\mathrm{arctg}1+\pi n=-\frac{\pi }{4}+\pi n$;
   $x=6(-\frac{\pi }{4}+\pi n)=-\frac{3\pi }{2}+6\pi n$ — нет;
   Второе уравнение:
   $\mathrm{tg}x=1$;
   $x=\mathrm{arctg}1+\pi n=\frac{\pi }{4}+\pi n$;
   Ответ: $\frac{\pi }{4}+\pi n$.

Задача 1:

$$(\tg x — 1)(\tg x + \sqrt{3}) = 0$$

Произведение равно нулю, значит:

Первое уравнение:

$$\tg x — 1 = 0 \implies \tg x = 1$$

Решение:

$$x = \arctg 1 + \pi n = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Второе уравнение:

$$\tg x + \sqrt{3} = 0 \implies \tg x = -\sqrt{3}$$

Решение:

$$x = \arctg (-\sqrt{3}) + \pi n = -\arctg \sqrt{3} + \pi n = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = -\frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Задача 2:

$$(\sqrt{3} \tg x + 1)(\tg x — \sqrt{3}) = 0$$

Первое уравнение:

$$\sqrt{3} \tg x + 1 = 0 \implies \tg x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Решение:

$$x = \arctg\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Второе уравнение:

$$\tg x — \sqrt{3} = 0 \implies \tg x = \sqrt{3}$$

Решение:

$$x = \arctg \sqrt{3} + \pi n = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = -\frac{\pi}{6} + \pi n; \quad x = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Задача 3:

$$(\tg x — 2)(2 \cos x — 1) = 0$$

Первое уравнение:

$$\tg x — 2 = 0 \implies \tg x = 2$$

Решение:

$$x = \arctg 2 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Второе уравнение:

$$2 \cos x — 1 = 0 \implies \cos x = \frac{1}{2}$$

Решение:

$$x = \pm \arccos \frac{1}{2} + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = \arctg 2 + \pi n; \quad x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Задача 4:

$$(\tg x — 4.5)(1 + 2 \sin x) = 0$$

Первое уравнение:

$$\tg x — 4.5 = 0 \implies \tg x = 4.5$$

Решение:

$$x = \arctg 4.5 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Второе уравнение:

$$1 + 2 \sin x = 0 \implies \sin x = -\frac{1}{2}$$

Решение (с учётом периодичности и знака):

$$x = (-1)^{n+1} \arcsin \frac{1}{2} + \pi n = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Ответ:

$$x = \arctg 4.5 + \pi n; \quad x = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Задача 5:

$$(\tg x + 4) \left(\tg \frac{x}{2} — 1\right) = 0$$

Первое уравнение:

$$\tg x + 4 = 0 \implies \tg x = -4$$

Решение:

$$x = -\arctg 4 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Второе уравнение:

$$\tg \frac{x}{2} — 1 = 0 \implies \tg \frac{x}{2} = 1$$ $$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = \frac{\pi}{2} + 2 \pi n$$

Ответ:

$$x = -\arctg 4 + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Задача 6:

$$\left(\tg \frac{x}{6} + 1\right)(\tg x — 1) = 0$$

Первое уравнение:

$$\tg \frac{x}{6} + 1 = 0 \implies \tg \frac{x}{6} = -1$$ $$\frac{x}{6} = -\frac{\pi}{4} + \pi n \implies x = -\frac{3\pi}{2} + 6 \pi n$$

Решение не подходит («нет»).

Второе уравнение:

$$\tg x — 1 = 0 \implies \tg x = 1$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{4} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$