ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 605 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что если 0 < = а < = 1, то 2 arcsin а = arccos (1 — 2а2).

Доказать тождество, если $0 \leq a \leq 1$:

$2 \arcsin a = \arccos(1 — 2a^2);$

1. Найдем косинус от левой части равенства:

$$\cos(2 \arcsin a) = \cos^2(\arcsin a) — \sin^2(\arcsin a) = (1 — \sin^2(\arcsin a)) — a^2 =$$ $$= 1 — a^2 — a^2 = 1 — 2a^2;$$

2. Найдем косинус от правой части равенства:

$$\cos(\arccos(1 — 2a^2)) = 1 — 2a^2;$$

Косинусы обеих частей равны, значит и они сами равны (так как угол $a$ по условию принадлежит только одной четверти) — тождество доказано.

Доказать тождество, если $0 \leq a \leq 1$:

$$2 \arcsin a = \arccos(1 — 2a^2).$$

Рассмотрим подробное решение, делая акцент на каждом шаге.

Шаг 1. Обозначения и первичные размышления

Пусть:

$$\theta = \arcsin a.$$

Тогда, по определению функции арксинуса, мы имеем:

$$\sin \theta = a, \quad 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.$$

Наша цель — доказать, что:

$$2 \theta = \arccos(1 — 2a^2).$$

Для этого нам нужно будет работать с выражениями, связанными с углом $2\theta$ и функциями косинуса и синуса.

Шаг 2. Рассмотрим левую часть тождества $2 \arcsin a$

Нам нужно выразить $\cos(2 \arcsin a)$, то есть найти косинус угла $2\theta$, где $\theta = \arcsin a$.

Для этого используем формулы для двойного угла для косинуса:

$$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta — \sin^2 \theta.$$

Теперь подставим значения для $\cos \theta$ и $\sin \theta$. Из определения $\theta = \arcsin a$ следует, что:

$$\sin \theta = a.$$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$, можем найти $\cos \theta$:

$$\cos^2 \theta = 1 — \sin^2 \theta = 1 — a^2,$$

следовательно:

$$\cos \theta = \sqrt{1 — a^2}.$$

Теперь подставим эти значения в формулу для $\cos(2\theta)$:

$$\cos(2\theta) = \cos^2 \theta — \sin^2 \theta = (1 — a^2) — a^2 = 1 — 2a^2.$$

Итак, мы нашли, что:

$$\cos(2 \arcsin a) = 1 — 2a^2.$$

Шаг 3. Рассмотрим правую часть тождества $\arccos(1 — 2a^2)$

Теперь рассмотрим правую часть тождества, а именно выражение $\arccos(1 — 2a^2)$.

Пусть:

$$\phi = \arccos(1 — 2a^2).$$

По определению функции арккосинуса, это означает, что:

$$\cos \phi = 1 — 2a^2, \quad 0 \leq \phi \leq \pi.$$

Теперь заметим, что если $\phi = 2\theta$, то это будет означать, что:

$$\cos(2\theta) = 1 — 2a^2.$$

Таким образом, мы уже видим, что $\cos(2\theta) = \cos \phi$, что указывает на то, что углы $2\theta$ и $\phi$ равны, если они лежат в одном и том же интервале. Поскольку $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$, то $0 \leq 2\theta \leq \pi$, а также $0 \leq \phi \leq \pi$, и мы можем заключить, что:

$$2\theta = \phi.$$

Это означает, что:

$$2 \arcsin a = \arccos(1 — 2a^2).$$

Шаг 4. Заключение

Таким образом, мы доказали, что:

$$2 \arcsin a = \arccos(1 — 2a^2),$$

что и требовалось доказать.