ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 600 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что arcsin (sin а) = а при -пи/2 < = а < =пи/2. Вычислить:

1. 7arcsin(sin пи/7);
2. 4arcsin(sin 1/2);
3. arcsin(sin 6пи/7);
4. arcsin (sin5).

По определению арксинуса:

$$\arcsin a = x, \text{ если } \sin x = a \text{ и } -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2};$$

Следовательно, выполняется равенство:

$$\arcsin(\sin x) = \arcsin a = x;$$

1. $7 \arcsin \left( \sin \frac{\pi}{7} \right) = 7 \cdot \frac{\pi}{7} = \pi;$
2. $4 \arcsin \left( \sin \frac{1}{2} \right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2;$
3. $\arcsin \left( \sin \frac{6\pi}{7} \right) = \arcsin \left( \sin \left( \pi — \frac{\pi}{7} \right) \right) = \arcsin \left( \sin \frac{\pi}{7} \right) = \frac{\pi}{7};$
4. $\arcsin(\sin 5) = \arcsin(\sin(2\pi + 5 — 2\pi)) = \arcsin(\sin(5 — 2\pi)) = 5 — 2\pi;$

Введение: Основные свойства арксинуса и синуса

Определение арксинуса:

Арксинус — это обратная функция для синуса. Если $\sin x = a$, то $\arcsin a = x$, где $x$ лежит в интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$.

$$\arcsin a = x, \quad \text{где} \quad -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}.$$

Это означает, что арксинус любого числа $a$, принадлежащего отрезку $[-1, 1]$, дает угол $x$ из этого интервала. Если мы знаем, что $\sin x = a$, то можно утверждать, что:

$$\arcsin(\sin x) = x, \quad \text{при условии, что} \quad -\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}.$$

Таким образом, если значение синуса угла $x$ попадает в диапазон от $-1$ до $1$, то мы можем сразу сказать, что арксинус и синус взаимно обратны.

Разбор каждого пункта:

1) $7 \arcsin \left( \sin \frac{\pi}{7} \right) = 7 \cdot \frac{\pi}{7} = \pi$

Объяснение:

Для начала разберем выражение $7 \arcsin \left( \sin \frac{\pi}{7} \right)$.

1.1. Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{7}$ — это просто значение синуса угла $\frac{\pi}{7}$. Однако важно понять, что $\frac{\pi}{7}$ лежит в интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$, и, следовательно, для угла $\frac{\pi}{7}$ выполняется:

$$\arcsin \left( \sin \frac{\pi}{7} \right) = \frac{\pi}{7}.$$

1.2. Теперь, умножив это значение на 7, получаем:

$$7 \cdot \frac{\pi}{7} = \pi.$$

Ответ:

$$7 \arcsin \left( \sin \frac{\pi}{7} \right) = \pi.$$

2) $4 \arcsin \left( \sin \frac{1}{2} \right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$

Объяснение:

Теперь разберемся с выражением $4 \arcsin \left( \sin \frac{1}{2} \right)$.

2.1. Мы знаем, что угол $\frac{1}{2}$ находится в интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$, то есть значение синуса для угла $\frac{1}{2}$ не выходит за пределы диапазона, в котором функция арксинус принимает значения. Таким образом:

$$\arcsin \left( \sin \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2}.$$

2.2. Умножив результат на 4, получаем:

$$4 \cdot \frac{1}{2} = 2.$$

Ответ:

$$4 \arcsin \left( \sin \frac{1}{2} \right) = 2.$$

3) $\arcsin \left( \sin \frac{6\pi}{7} \right) = \arcsin \left( \sin \left( \pi — \frac{\pi}{7} \right) \right) = \arcsin \left( \sin \frac{\pi}{7} \right) = \frac{\pi}{7}$

Объяснение:

В данном пункте важно понять, что синус — это функция с периодом $2\pi$, и синус угла $\theta$ равен синусу угла $\pi — \theta$, т.е.:

$$\sin \left( \pi — \theta \right) = \sin \theta.$$

3.1. Рассмотрим выражение $\sin \frac{6\pi}{7}$. Мы можем выразить его через угол $\pi — \frac{\pi}{7}$:

$$\sin \frac{6\pi}{7} = \sin \left( \pi — \frac{\pi}{7} \right) = \sin \frac{\pi}{7}.$$

3.2. Теперь, так как $\frac{\pi}{7}$ лежит в интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$, мы можем утверждать, что:

$$\arcsin \left( \sin \frac{6\pi}{7} \right) = \arcsin \left( \sin \frac{\pi}{7} \right) = \frac{\pi}{7}.$$

Ответ:

$$\arcsin \left( \sin \frac{6\pi}{7} \right) = \frac{\pi}{7}.$$

4) $\arcsin(\sin 5) = \arcsin(\sin(2\pi + 5 — 2\pi)) = \arcsin(\sin(5 — 2\pi)) = 5 — 2\pi$

Объяснение:

В данном пункте нам нужно использовать периодичность функции синуса, которая имеет период $2\pi$. Мы знаем, что:

$$\sin(\theta) = \sin(\theta + 2k\pi) \quad \text{для любого целого } k.$$

4.1. Начнем с того, что $5$ не лежит в интервале $\left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right]$, следовательно, нужно применить периодичность синуса. Мы можем вычесть $2\pi$, чтобы привести угол в этот интервал:

$$5 — 2\pi \quad \text{лежит в интервале} \quad \left[ -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right].$$

4.2. Таким образом, $\sin 5 = \sin(5 — 2\pi)$, и, поскольку $5 — 2\pi$ уже лежит в нужном интервале, мы можем утверждать:

$$\arcsin(\sin 5) = 5 — 2\pi.$$

Ответ:

$$\arcsin(\sin 5) = 5 — 2\pi.$$

Итоговые ответы:

1. $7 \arcsin \left( \sin \frac{\pi}{7} \right) = \pi$
2. $4 \arcsin \left( \sin \frac{1}{2} \right) = 2$
3. $\arcsin \left( \sin \frac{6\pi}{7} \right) = \frac{\pi}{7}$
4. $\arcsin(\sin 5) = 5 — 2\pi$