ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 6 Алимов — Подробные Ответы

1. 16,9;
2. 7,25(4);
3. 1,21221222… (после n-й единицы стоит n- двоек);
4. 99,1357911… (после запятой записаны подряд все нечётные числа)?

Анализ данных чисел:

1. 16,9

• Это конечная десятичная дробь ($16.9=\frac{169}{10}$ ), то есть рациональное число.

2. 7,25(4)

• Десятичная запись 7,254444… является периодической, следовательно, число рациональное.

3. 1,21221222… (после n-й единицы стоит n двоек)

• Дробь не является периодической, так как структура записи не повторяется регулярно.
• Следовательно, число иррациональное.

4. 99,1357911… (после запятой записаны подряд все нечётные числа)

• Последовательность цифр после запятой не является периодической, следовательно, число иррациональное.

Ответ:

Иррациональные числа:
✅ 1,21221222…
✅ 99,1357911…

Рациональные числа:
❌ 16,9
❌ 7,25(4)

Рассмотрим каждое число и определим, является ли оно рациональным (представимым в виде дроби $\frac{m}{n}$, где $m$ и $n$ — целые числа, $n \neq 0$) или иррациональным (имеющим бесконечную непериодическую десятичную запись).

1) Число 16,9

Анализ:

Это конечная десятичная дробь, так как у неё только один знак после запятой. Любую конечную десятичную дробь можно записать в виде обыкновенной дроби:

$$16,9 = \frac{169}{10}$$

Число представимо в виде дроби с целыми числителем и знаменателем.

Вывод: ✅ Рациональное число.

2) Число 7,25(4)

Анализ:

Запись $7,25(4)$ означает бесконечную периодическую десятичную дробь:

$$7,2544444444\ldots$$

Любую периодическую дробь можно записать в виде обыкновенной дроби.

Преобразуем в обыкновенную дробь:
Обозначим число за $x$:

$$x = 7,2544444\ldots$$

Умножим обе части на 10, чтобы перенести запятую на одну цифру вправо:

$$10x = 72,5444444\ldots$$

Умножим ещё раз на 10, чтобы отделить периодическую часть:

$$100x = 725,444444\ldots$$

Вычтем из второго уравнения первое:

$$100x — 10x = 725,4444\ldots — 72,5444\ldots$$ $$90x = 652,9$$

Представим 652,9 как дробь:

$$90x = \frac{6529}{10}$$ $$x = \frac{6529}{900}$$

Дробь сокращается:

$$x = \frac{6529}{900}$$

Вывод: ✅ Рациональное число.

3) Число 1,21221222… (после n-й единицы стоит n двоек)

Анализ:

Десятичная запись:

$$1,21221222\ldots$$

Видно, что структура десятичных знаков не повторяется строго: после первой единицы идёт одна двойка, затем после второй единицы — две двойки, затем три двойки и т. д. Это означает, что число не является периодическим.

Вывод: ✅ Иррациональное число.

4) Число 99,1357911… (после запятой записаны подряд все нечётные числа)

Анализ:

Запись:

$$99,1357911131517\ldots$$

Последовательность цифр после запятой состоит из всех нечётных чисел, записанных подряд, без какого-либо регулярного повторения. Так как дробь не имеет периодической структуры, её нельзя представить в виде обыкновенной дроби.

Вывод: ✅ Иррациональное число.

Итоговый ответ:

✅ Иррациональные числа:

• 1,21221222…
• 99,1357911…

✅ Рациональные числа:

• 16,9
• 7,25(4)