ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 599 Алимов — Подробные Ответы

Доказать, что sin (arcsin а) = a при -1 < =a < =1. Вычислить:

1. sin(arcsin1/7);
2. sin(arcsin(-1/5);
3. sin(пи+ arcsin3/4);
4. cos(3пи/2 — arcsin1/3);
5. cos(arcsin4/5);
6. tg(arcsin1/корень 10).

По определению арксинуса:

$$\arcsin a=x,\text{ если }\sin x=a\text{ и }-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2};$$

Пусть $a$ — положительное число, тогда:

$$\sin (\arcsin a)=\sin x=a;$$$$\sin (\arcsin (-a))=\sin (-\arcsin (a))=\sin (-x)=-\sin x=-a;$$

1. $\sin (\arcsin \frac{1}{7})=\frac{1}{7};$
2. $\sin (\arcsin (-\frac{1}{5}))=-\frac{1}{5};$
3. $\sin (\pi +\arcsin \frac{3}{4})=-\sin (\arcsin \frac{3}{4})=-\frac{3}{4};$
4. $\cos (\frac{3\pi }{2}-\arcsin \frac{1}{3})=-\sin (\arcsin \frac{1}{3})=-\frac{1}{3};$
5. $\cos (\arcsin \frac{4}{5})=\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin \frac{4}{5})}=\sqrt{1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2}=\sqrt{\frac{25}{25}-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5};$
6. $\mathrm{tg}(\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}})=\frac{\sin (\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}})}{\cos (\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}})}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}})}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\sqrt{1-{\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}^2}}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\sqrt{1-\frac{1}{10}}}=$

$=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\sqrt{\frac{9}{10}}}=\frac{1}{\sqrt{10}}:\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}\cdot \frac{\sqrt{10}}{3}=\frac{1}{3}$

Введение: Определение арксинуса

Арксинус — это обратная функция для синуса, которая используется для нахождения угла $x$, если задано значение синуса. По определению:

$$\arcsin a=x,\text{если}\sin x=a\text{и}-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Это значит, что для любого $a$, где $-1\le a\le 1$, существует единственный угол $x$, для которого $\sin x=a$ и $x$ находится в интервале от $-\frac{\pi }{2}$ до $\frac{\pi }{2}$.

Основные свойства:

1. $\sin (\arcsin a)=a$ для $a\in [-1,1]$.
2. $\sin (\arcsin (-a))=-a$ для $a\in [-1,1]$.

Теперь давайте перейдем к решению каждого пункта задачи.

1) $\sin (\arcsin \frac{1}{7})=\frac{1}{7}$

Объяснение:

Задача состоит в том, чтобы найти синус угла, который является результатом функции арксинус. Мы знаем, что:

$$\arcsin a=x\text{если}\sin x=a\text{и}-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Если $a=\frac{1}{7}$, то $\arcsin \frac{1}{7}$ — это угол, синус которого равен $\frac{1}{7}$. Тогда, по определению арксинуса, мы получаем:

$$\sin (\arcsin \frac{1}{7})=\frac{1}{7}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sin (\arcsin \frac{1}{7})=\frac{1}{7}\mathrm{.}$$

2) $\sin (\arcsin (-\frac{1}{5}))=-\frac{1}{5}$

Объяснение:

Здесь используется тот же принцип, только с отрицательным значением. Если $a=-\frac{1}{5}$, то $\arcsin (-\frac{1}{5})$ — это угол, синус которого равен $-\frac{1}{5}$. Мы знаем, что для отрицательного аргумента:

$$\sin (\arcsin (-\frac{1}{5}))=-\frac{1}{5}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sin (\arcsin (-\frac{1}{5}))=-\frac{1}{5}\mathrm{.}$$

3) $\sin (\pi +\arcsin \frac{3}{4})=-\sin (\arcsin \frac{3}{4})=-\frac{3}{4}$

Объяснение:

Здесь нужно использовать свойства синуса при добавлении углов. Если $x=\arcsin \frac{3}{4}$, то $\sin x=\frac{3}{4}$. Теперь рассмотрим выражение $\sin (\pi +x)$, где $x=\arcsin \frac{3}{4}$.

Используем формулу для синуса суммы:

$$\sin (\pi +x)=\sin \pi \cdot \cos x+\cos \pi \cdot \sin x\mathrm{.}$$

Так как $\sin \pi =0$ и $\cos \pi =-1$, получается:

$$\sin (\pi +x)=0\cdot \cos x+(-1)\cdot \sin x=-\sin x\mathrm{.}$$

Итак:

$$\sin (\pi +\arcsin \frac{3}{4})=-\sin (\arcsin \frac{3}{4})=-\frac{3}{4}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\sin (\pi +\arcsin \frac{3}{4})=-\frac{3}{4}\mathrm{.}$$

4) $\cos (\frac{3\pi }{2}-\arcsin \frac{1}{3})=-\sin (\arcsin \frac{1}{3})=-\frac{1}{3}$

Объяснение:

Используем формулу для косинуса разности углов:

$$\cos (a-b)=\cos a\cdot \cos b+\sin a\cdot \sin b\mathrm{.}$$

Пусть $a=\frac{3\pi }{2}$ и $b=\arcsin \frac{1}{3}$. Тогда:

$$\cos (\frac{3\pi }{2}-\arcsin \frac{1}{3})=\cos \frac{3\pi }{2}\cdot \cos (\arcsin \frac{1}{3})+\sin \frac{3\pi }{2}\cdot \sin (\arcsin \frac{1}{3})\mathrm{.}$$

Знаем, что $\cos \frac{3\pi }{2}=0$ и $\sin \frac{3\pi }{2}=-1$. Подставим эти значения:

$$\cos (\frac{3\pi }{2}-\arcsin \frac{1}{3})=0\cdot \cos (\arcsin \frac{1}{3})+(-1)\cdot \sin (\arcsin \frac{1}{3})\mathrm{.}$$

Поскольку $\sin (\arcsin \frac{1}{3})=\frac{1}{3}$, получаем:

$$\cos (\frac{3\pi }{2}-\arcsin \frac{1}{3})=-\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\cos (\frac{3\pi }{2}-\arcsin \frac{1}{3})=-\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

5) $\cos (\arcsin \frac{4}{5})=\sqrt{1-{\sin }^2(\arcsin \frac{4}{5})}=\frac{3}{5}$

Объяснение:

Для вычисления косинуса угла, зная его синус, используем основное тригонометрическое тождество:

$${\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1.$$

Если $\sin x=\frac{4}{5}$, то:

$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}\mathrm{.}$$

Тогда:

$$\cos x=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac{3}{5}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\cos (\arcsin \frac{4}{5})=\frac{3}{5}\mathrm{.}$$

6) $\mathrm{tg}(\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}})=\frac{1}{3}$

Объяснение:

Для вычисления тангенса угла, зная его синус, используем:

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\mathrm{.}$$

Если $\sin x=\frac{1}{\sqrt{10}}$, то:

$${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)}^2=1-\frac{1}{10}=\frac{9}{10}\mathrm{.}$$

Таким образом:

$$\cos x=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}\mathrm{.}$$

Теперь вычислим тангенс:

$$\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{\frac{1}{\sqrt{10}}}{\frac{3}{\sqrt{10}}}=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\mathrm{tg}(\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}})=\frac{1}{3}\mathrm{.}$$

Итоговые ответы:

1. $\sin (\arcsin \frac{1}{7})=\frac{1}{7}$
2. $\sin (\arcsin (-\frac{1}{5}))=-\frac{1}{5}$
3. $\sin (\pi +\arcsin \frac{3}{4})=-\frac{3}{4}$
4. $\cos (\frac{3\pi }{2}-\arcsin \frac{1}{3})=-\frac{1}{3}$
5. $\cos (\arcsin \frac{4}{5})=\frac{3}{5}$
6. $\mathrm{tg}(\arcsin \frac{1}{\sqrt{10}})=\frac{1}{3}$