ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 598 Алимов — Подробные Ответы

Найти все корни уравнения sin x/2 = корень 3/2, удовлетворяющие неравенству logпи(х — 4пи) < 1.

$\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2};$

$\frac{x}{2} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n;$

$x = 2 \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 2\pi n;$

Все корни, логарифм которых $\log_{\pi}(x — 4\pi) < 1$:

$$\begin{cases} x — 4\pi < \pi \\ x — 4\pi > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x < 5\pi \\ x > 4\pi \end{cases} \Rightarrow 4\pi < x < 5\pi;$$

$x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2 \cdot 2\pi = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3};$

Условие задачи:

Нам дана тригонометрическая уравнение:

$$\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Также требуется решить логарифмическое неравенство и найти корни уравнения.

Шаг 1: Решение тригонометрического уравнения

Начнем с того, что нам нужно решить уравнение

$$\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Используем известное значение синуса

Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, это стандартное значение из таблицы тригонометрических функций.

Таким образом, можно записать:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} \quad \text{или} \quad \frac{x}{2} = \pi — \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}.$$

Но, поскольку синус — это периодическая функция, и мы можем получить несколько решений, учитываем, что синус повторяется с периодом $2\pi$. То есть общее решение будет выглядеть следующим образом:

$$\frac{x}{2} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{или} \quad \frac{x}{2} = \pi — \frac{\pi}{3} + 2k\pi = \frac{2\pi}{3} + 2k\pi,$$

где $k$ — целое число.

Умножаем обе части уравнений на 2

Чтобы выразить $x$, умножим обе части каждого уравнения на 2:

$$x = 2 \cdot \left(\frac{\pi}{3} + 2k\pi\right) = \frac{2\pi}{3} + 4k\pi,$$ $$x = 2 \cdot \left(\frac{2\pi}{3} + 2k\pi\right) = \frac{4\pi}{3} + 4k\pi.$$

Значит, общее решение уравнения

$$\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

выглядит так:

$$x = \frac{2\pi}{3} + 4k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 4k\pi.$$

Шаг 2: Разбор логарифмического неравенства

Теперь рассмотрим логарифмическое неравенство:

$$\log_{\pi}(x — 4\pi) < 1.$$

Шаг 2.1: Преобразование логарифма

Логарифмическое неравенство можно преобразовать в экспоненциальную форму. Напоминаем, что:

$$\log_b A = C \quad \text{эквивалентно} \quad A = b^C.$$

Таким образом, из неравенства

$$\log_{\pi}(x — 4\pi) < 1$$

мы получаем:

$$x — 4\pi < \pi^1 = \pi.$$

Теперь у нас есть неравенство:

$$x — 4\pi < \pi.$$

Шаг 2.2: Решение первого неравенства

Из этого неравенства находим:

$$x < 5\pi.$$

Шаг 2.3: Второе неравенство

Кроме того, аргумент логарифма должен быть положительным, то есть:

$$x — 4\pi > 0,$$

что дает:

$$x > 4\pi.$$

Шаг 2.4: Объединение условий

Объединяя оба неравенства, получаем:

$$4\pi < x < 5\pi.$$

Шаг 3: Подставляем значения в решение тригонометрического уравнения

Теперь, зная, что $x$ должно лежать в интервале $4\pi < x < 5\pi$, подставляем в общее решение тригонометрического уравнения:

$$x = \frac{2\pi}{3} + 4k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{4\pi}{3} + 4k\pi.$$

Подставляем $k = 1$

Для $k = 1$:

• Для $x = \frac{2\pi}{3} + 4k\pi$:

$$x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{2\pi}{3} + \frac{12\pi}{3} = \frac{14\pi}{3}.$$

Проверим, что $\frac{14\pi}{3}$ лежит в интервале $4\pi < x < 5\pi$:

$$4\pi = \frac{12\pi}{3}, \quad 5\pi = \frac{15\pi}{3}.$$

Поскольку $\frac{14\pi}{3} \in \left( \frac{12\pi}{3}, \frac{15\pi}{3} \right)$, это решение удовлетворяет условиям.

Таким образом, $x_1 = \frac{14\pi}{3}$ — это единственное решение в данном интервале.

Ответ:

Единственное решение, удовлетворяющее всем условиям задачи:

$$x_1 = \frac{14\pi}{3}.$$