ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 595 Алимов — Подробные Ответы

1. 1 + cos 5x sin 4x = cos 4x sin 5x;
2. 1 — sin x cos 2x = cos x sin 2x.

1. $1 + \cos 5x \cdot \sin 4x = \cos 4x \cdot \sin 5x$;
   $\sin 5x \cdot \cos 4x — \sin 4x \cdot \cos 5x = 1$;
   $\sin (5x — 4x) = 1$;
   $\sin x = 1$;
   $x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
   Ответ: $\frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
2. $1 — \sin x \cdot \cos 2x = \cos x \cdot \sin 2x$;
   $\sin 2x \cdot \cos x + \sin x \cdot \cos 2x = 1$;
   $\sin (2x + x) = 1$;
   $\sin 3x = 1$;
   $3x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
   $x = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$;
   Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

Задача 1

Условие:

$$1 + \cos 5x \cdot \sin 4x = \cos 4x \cdot \sin 5x$$

Шаг 1: Преобразование исходного уравнения

Начнем с того, что перенесем все элементы на одну сторону уравнения. Это позволит нам найти простое выражение:

$$\cos 5x \cdot \sin 4x — \cos 4x \cdot \sin 5x = 1$$

Теперь используем формулу синуса разности для выражения в левой части уравнения:

$$\sin(A — B) = \sin A \cdot \cos B — \cos A \cdot \sin B$$

Подставляем:

$$\sin(5x — 4x) = 1$$

Шаг 2: Упрощение выражения

Упростим:

$$\sin x = 1$$

Шаг 3: Решение уравнения

Известно, что $\sin x = 1$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число, так как синус принимает значение 1 в точке $\frac{\pi}{2}$, а затем через каждые $2\pi$ (период функции синус).

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$$

Задача 2

Условие:

$$1 — \sin x \cdot \cos 2x = \cos x \cdot \sin 2x$$

Шаг 1: Преобразование исходного уравнения

Сначала перенесем все элементы на одну сторону уравнения:

$$\sin 2x \cdot \cos x + \sin x \cdot \cos 2x = 1$$

Шаг 2: Используем формулу синуса суммы

Теперь используем формулу синуса суммы:

$$\sin(A + B) = \sin A \cdot \cos B + \cos A \cdot \sin B$$

Применяем формулу к левой части:

$$\sin(2x + x) = 1$$

Шаг 3: Упрощение выражения

Упрощаем:

$$\sin 3x = 1$$

Шаг 4: Решение уравнения

Как и в предыдущем случае, $\sin 3x = 1$ при $3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n$ — целое число.

Таким образом, $x = \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right)$.

Шаг 5: Упрощение

Упрощаем выражение:

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Ответ:

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$$

Итог:

1. Для первого уравнения, после использования формулы синуса разности, мы пришли к решению $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$.
2. Для второго уравнения, с применением формулы синуса суммы, мы нашли решение $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.