ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 593 Алимов — Подробные Ответы

Выяснить, имеет ли смысл выражение:

1. arcsin (корень 5 — 2);
2. arcsin (корень 5 — 3);
3. arcsin (3- корень 7);
4. arcsin (2 — корень 10);
5. tg(6 arcsin1/2);
6. tg(2arcsin корень 2/2).

Арксинус определен на отрезке $[-1; 1]$.

1. $\arcsin (\sqrt{5} — 2)$;
   $4 < 5 < 9$;
   $2 < \sqrt{5} < 3$;
   $0 < \sqrt{5} — 2 < 1$;
   Ответ: да.
2. $\arcsin (\sqrt{5} — 3)$;
   $4 < 5 < 9$;
   $2 < \sqrt{5} < 3$;
   $-1 < \sqrt{5} — 3 < 0$;
   Ответ: да.
3. $\arcsin (3 — \sqrt{17})$;
   $16 < 17 < 25$;
   $4 < \sqrt{17} < 5$;
   $-5 < -\sqrt{17} < -4$;
   $-2 < 3 — \sqrt{17} < -1$;
   Ответ: нет.
4. $\arcsin (2 — \sqrt{10})$;
   $9 < 10 < 16$;
   $3 < \sqrt{10} < 4$;
   $-4 < -\sqrt{10} < -3$;
   $-2 < 2 — \sqrt{10} < -1$;
   Ответ: нет.
5. $\tan \left( 6 \arcsin \frac{1}{2} \right) = \tan \left( 6 \cdot \frac{\pi}{6} \right) = \tan \pi = 0$;
   Ответ: да.
6. $\tan \left( 2 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \tan \left( 2 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = \tan \left( \frac{\pi}{2} \right)$;
   Ответ: нет.

1) $\arcsin (\sqrt{5} — 2)$

Шаг 1. Проверим, лежит ли выражение $\sqrt{5} — 2$ в пределах, где арксинус определен.

Арксинус определен на интервале $[-1; 1]$, то есть аргумент функции $\arcsin x$ должен быть в этом диапазоне.

• $\sqrt{5}$ — это число, которое лежит в промежутке между 2 и 3, потому что $\sqrt{4} = 2$ и $\sqrt{9} = 3$.

  Следовательно, $2 < \sqrt{5} < 3$.

• Теперь вычислим $\sqrt{5} — 2$:

  $$0 < \sqrt{5} — 2 < 1.$$

Таким образом, $\sqrt{5} — 2$ находится в пределах от 0 до 1, что входит в интервал $[-1, 1]$, на котором определен арксинус.

Ответ: да, выражение $\arcsin (\sqrt{5} — 2)$ определено.

2) $\arcsin (\sqrt{5} — 3)$

Шаг 1. Проверим, лежит ли выражение $\sqrt{5} — 3$ в пределах, где арксинус определен.

• Мы уже знаем, что $\sqrt{5}$ находится в пределах $2 < \sqrt{5} < 3$.
• Теперь вычислим $\sqrt{5} — 3$:

  $$-1 < \sqrt{5} — 3 < 0.$$

Выражение $\sqrt{5} — 3$ лежит в интервале от $-1$ до 0, что также входит в допустимый диапазон $[-1, 1]$.

Ответ: да, выражение $\arcsin (\sqrt{5} — 3)$ определено.

3) $\arcsin (3 — \sqrt{17})$

Шаг 1. Проверим, лежит ли выражение $3 — \sqrt{17}$ в пределах, где арксинус определен.

• $\sqrt{17}$ лежит в интервале от 4 до 5, потому что $\sqrt{16} = 4$ и $\sqrt{25} = 5$.
• Вычислим $3 — \sqrt{17}$:

  $$-5 < -\sqrt{17} < -4 \quad \text{и} \quad -2 < 3 — \sqrt{17} < -1.$$

Таким образом, $3 — \sqrt{17}$ лежит в интервале от $-2$ до $-1$, который не входит в допустимый интервал для арксинуса $[-1, 1]$.

Ответ: нет, выражение $\arcsin (3 — \sqrt{17})$ не определено.

4) $\arcsin (2 — \sqrt{10})$

Шаг 1. Проверим, лежит ли выражение $2 — \sqrt{10}$ в пределах, где арксинус определен.

• $\sqrt{10}$ лежит в интервале от 3 до 4, потому что $\sqrt{9} = 3$ и $\sqrt{16} = 4$.
• Вычислим $2 — \sqrt{10}$:

  $$-4 < -\sqrt{10} < -3 \quad \text{и} \quad -2 < 2 — \sqrt{10} < -1.$$

Таким образом, $2 — \sqrt{10}$ лежит в интервале от $-2$ до $-1$, что выходит за пределы допустимого интервала $[-1, 1]$.

Ответ: нет, выражение $\arcsin (2 — \sqrt{10})$ не определено.

5) $\tan \left( 6 \arcsin \frac{1}{2} \right)$

Шаг 1. Вычислим $\arcsin \frac{1}{2}$.

Мы знаем, что:

$$\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}.$$

Шаг 2. Подставим это значение в выражение для тангенса.

Теперь подставим $\frac{\pi}{6}$ в выражение:

$$6 \arcsin \frac{1}{2} = 6 \cdot \frac{\pi}{6} = \pi.$$

Тангенс от $\pi$:

$$\tan \pi = 0.$$

Ответ: да, $\tan \left( 6 \arcsin \frac{1}{2} \right) = 0$.

6) $\tan \left( 2 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$

Шаг 1. Вычислим $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Из таблицы значений для арксинуса мы знаем, что:

$$\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}.$$

Шаг 2. Подставим это значение в выражение для тангенса.

Теперь подставим $\frac{\pi}{4}$ в выражение:

$$2 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} = 2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}.$$

Тангенс от $\frac{\pi}{2}$ не существует, так как тангенс в этой точке стремится к бесконечности:

$$\tan \frac{\pi}{2} \text{ не существует}.$$

Ответ: нет, $\tan \left( 2 \arcsin \frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ не существует.

Итоговые ответы:

1. да
2. да
3. нет
4. нет
5. да
6. нет