ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 591 Алимов — Подробные Ответы

1. sin3x=l;
2. sin2x = -1;
3. корень 2 sin x/3 = -1;
4. 2sinx/2 = корень 3;
5. sin(x+3пи/4)= 0;
6. sin(2x+пи/2)=0.

1. $\sin 3x = 1$;
   $3x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
   $x = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$;
   Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.
2. $\sin 2x = -1$;
   $2x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$;
   $x = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right) = -\frac{\pi}{4} + \pi n$;
   Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n$.
3. $\sqrt{2} \sin \frac{x}{3} = -1$;
   $\sin \frac{x}{3} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$;
   $\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n$;
   $x = 3 \cdot \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n \right) = (-1)^{n+1} \cdot \frac{3\pi}{4} + 3\pi n$;
   Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{3\pi}{4} + 3\pi n$.
4. $2 \sin \frac{x}{2} = \sqrt{3}$;
   $\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$;
   $\frac{x}{2} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n$;
   $x = 2 \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n \right) = (-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$;
   Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.
5. $\sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right) = 0$;
   $x + \frac{3\pi}{4} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
   $x = \pi n — \frac{3\pi}{4}$;
   Ответ: $-\frac{3\pi}{4} + \pi n$.
6. $\sin \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) = 0$;
   $2x + \frac{\pi}{2} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n$;
   $2x = \pi n — \frac{\pi}{2}$;
   $x = \frac{1}{2} \cdot \left( \pi n — \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi n}{2} — \frac{\pi}{4}$;
   Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.

1) $\sin 3x = 1$

Шаг 1: Извлекаем основной угол. Мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{2} = 1$, и функция синуса имеет период $2\pi$. То есть:

$$3x = \arcsin 1 + 2\pi n = \frac{\pi}{2} + 2\pi n,$$

где $n$ — целое число, потому что синус периодичен с периодом $2\pi$.

Шаг 2: Из этого выражения решаем для $x$:

$$x = \frac{1}{3} \cdot \left( \frac{\pi}{2} + 2\pi n \right).$$

Шаг 3: Упростим:

$$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}.$$

Ответ: $\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi n}{3}$.

2) $\sin 2x = -1$

Шаг 1: Извлекаем основной угол. Мы знаем, что $\sin \left(-\frac{\pi}{2}\right) = -1$, и функция синуса имеет период $2\pi$:

$$2x = -\arcsin 1 + 2\pi n = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n.$$

Шаг 2: Из этого выражения решаем для $x$:

$$x = \frac{1}{2} \cdot \left( -\frac{\pi}{2} + 2\pi n \right).$$

Шаг 3: Упростим:

$$x = -\frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n$.

3) $\sqrt{2} \sin \frac{x}{3} = -1$

Шаг 1: Извлекаем синус:

$$\sin \frac{x}{3} = -\frac{1}{\sqrt{2}}.$$

Шаг 2: Теперь найдём угол для $\sin^{-1} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right)$. Мы знаем, что:

$$\arcsin \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -\frac{\pi}{4}.$$

Следовательно:

$$\frac{x}{3} = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{\sqrt{2}} + \pi n = (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n.$$

Шаг 3: Умножим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$$x = 3 \cdot \left( (-1)^{n+1} \cdot \frac{\pi}{4} + \pi n \right).$$

Шаг 4: Упростим:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \frac{3\pi}{4} + 3\pi n.$$

Ответ: $(-1)^{n+1} \cdot \frac{3\pi}{4} + 3\pi n$.

4) $2 \sin \frac{x}{2} = \sqrt{3}$

Шаг 1: Извлекаем синус:

$$\sin \frac{x}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Шаг 2: Теперь найдём угол для $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы знаем, что:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{3}.$$

Следовательно:

$$\frac{x}{2} = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \pi n = (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n.$$

Шаг 3: Умножим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$$x = 2 \cdot \left( (-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} + \pi n \right).$$

Шаг 4: Упростим:

$$x = (-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 2\pi n.$$

Ответ: $(-1)^n \cdot \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

5) $\sin \left( x + \frac{3\pi}{4} \right) = 0$

Шаг 1: Извлекаем основной угол. Мы знаем, что $\sin 0 = 0$, и синус периодичен с периодом $2\pi$:

$$x + \frac{3\pi}{4} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n.$$

Шаг 2: Решим для $x$:

$$x = \pi n — \frac{3\pi}{4}.$$

Ответ: $-\frac{3\pi}{4} + \pi n$.

6) $\sin \left( 2x + \frac{\pi}{2} \right) = 0$

Шаг 1: Извлекаем основной угол. Мы знаем, что $\sin 0 = 0$, и синус периодичен с периодом $2\pi$:

$$2x + \frac{\pi}{2} = \arcsin 0 + \pi n = \pi n.$$

Шаг 2: Решим для $2x$:

$$2x = \pi n — \frac{\pi}{2}.$$

Шаг 3: Теперь решим для $x$:

$$x = \frac{1}{2} \cdot \left( \pi n — \frac{\pi}{2} \right) = \frac{\pi n}{2} — \frac{\pi}{4}.$$

Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$.