ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 590 Алимов — Подробные Ответы

1. sinx-2/7;
2. sinx=-1/4;
3. sinx= корень 5/3.

1. $\sin x = \frac{2}{7}$;
   $x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{2}{7} + \pi n$;
2. $\sin x = -\frac{1}{4}$;
   $x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \frac{1}{4} + \pi n$;
3. $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$;
   $x = (-1)^n \cdot \arcsin \frac{\sqrt{5}}{3} + \pi n$

Задача 1: $\sin x = \frac{2}{7}$

Нам нужно найти все значения угла $x$, для которого $\sin x = \frac{2}{7}$.

Шаг 1: Определяем основное значение угла.

Мы начинаем с того, что для синуса определен обратный функционал — арксинус (или $\arcsin$). Основное решение для уравнения $\sin x = \frac{2}{7}$ будет равно:

$$x_1 = \arcsin \left( \frac{2}{7} \right).$$

Здесь мы используем $\arcsin$ для получения одного из корней. Арксинус функции — это функция, которая возвращает угол в интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, где синус равен заданному значению. В нашем случае $\arcsin \left( \frac{2}{7} \right)$ — это угол, для которого синус равен $\frac{2}{7}$, и этот угол будет положительным, так как $\frac{2}{7} > 0$.

Шаг 2: Используем периодичность синуса.

Синус — это периодическая функция с периодом $2\pi$, что означает, что его значения повторяются через каждые $2\pi$ радиан. Поэтому к основному решению добавляем $2\pi n$, где $n$ — любое целое число.

Таким образом, для углов, где $\sin x = \frac{2}{7}$, можно записать общее решение:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \left( \frac{2}{7} \right) + \pi n,$$

где $(-1)^n$ учитывает, что синус функции имеет одинаковые значения для углов, симметричных относительно оси $x = 0$, то есть для углов, расположенных как в первой, так и в второй четверти.

Ответ:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \left( \frac{2}{7} \right) + \pi n.$$

Задача 2: $\sin x = -\frac{1}{4}$

Задача аналогична, но с отрицательным значением синуса. Мы ищем все значения угла $x$, для которого $\sin x = -\frac{1}{4}$

Шаг 1: Определяем основное значение угла.

Для уравнения $\sin x = -\frac{1}{4}$ основное решение будет равно:

$$x_1 = \arcsin \left( -\frac{1}{4} \right).$$

Поскольку синус отрицателен, мы знаем, что основной корень будет в третьей или четвертой четверти, а $\arcsin$ даст угол в интервале $[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, то есть в 4-й четверти, так как $\arcsin$ всегда возвращает отрицательные углы для отрицательных значений синуса.

Поэтому:

$$x_1 = — \arcsin \left( \frac{1}{4} \right).$$

Шаг 2: Используем периодичность синуса.

Как и в предыдущем случае, синус — это периодическая функция с периодом $2\pi$, и его значения повторяются через каждые $2\pi$ радиан. Таким образом, общее решение будет:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \left( \frac{1}{4} \right) + \pi n.$$

Здесь $(-1)^{n+1}$ учитывает, что синус может быть отрицательным и для углов в 3-й и 4-й четвертях.

Ответ:

$$x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \left( \frac{1}{4} \right) + \pi n.$$

Задача 3: $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$

Теперь решаем уравнение $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$.

Шаг 1: Определяем основное значение угла.

Для того чтобы найти основное значение угла, нам нужно вычислить арксинус от $\frac{\sqrt{5}}{3}$:

$$x_1 = \arcsin \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right).$$

Это основной угол, для которого синус равен $\frac{\sqrt{5}}{3}$. Поскольку $\frac{\sqrt{5}}{3}$ — положительное число, основной угол будет положительным и находится в интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$.

Шаг 2: Используем периодичность синуса.

Как и в предыдущих задачах, синус — это периодическая функция, и его значения повторяются через каждые $2\pi$. Поэтому для углов, для которых $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$, решение будет:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) + \pi n.$$

Здесь $(-1)^n$ опять-таки учитывает возможные решения как в первой, так и во второй четверти.

Ответ:

$$x = (-1)^n \cdot \arcsin \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) + \pi n.$$

Итоговые ответы:

1. $\sin x = \frac{2}{7}$
   Ответ: $x = (-1)^n \cdot \arcsin \left( \frac{2}{7} \right) + \pi n.$
2. $\sin x = -\frac{1}{4}$
   Ответ: $x = (-1)^{n+1} \cdot \arcsin \left( \frac{1}{4} \right) + \pi n.$
3. $\sin x = \frac{\sqrt{5}}{3}$
   Ответ: $x = (-1)^n \cdot \arcsin \left( \frac{\sqrt{5}}{3} \right) + \pi n.$