ГДЗ по Алгебре 10-11 Класс Номер 587 Алимов — Подробные Ответы

1. arcsin 1- arcsin(-1);
2. arcsin 1/корень 2 + arcsin(-1/корень 2);
3. arcsin 1/2+ arcsin корень 3/2;
4. arcsin (-корень 3/2) + arcsin(-1/2).

1. $\arcsin 1-\arcsin (-1)=\arcsin 1+\arcsin 1=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi$;
2. $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}})=\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}-\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}=0$;
3. $\arcsin \frac{1}{2}+\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi +2\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$;
4. $\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})+\arcsin (-\frac{1}{2})=-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}-\arcsin \frac{1}{2}=-\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=$

$=\frac{-2\pi -\pi }{6}=\frac{-3\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}$

1) $\arcsin 1-\arcsin (-1)=\arcsin 1+\arcsin 1=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi$

Шаг 1: Что такое $\arcsin 1$?

Функция $\arcsin$ определяет угол $x$, для которого выполняется равенство:

$$\sin x=y,$$

где $y$ — аргумент функции $\arcsin$, и угол $x$ находится в интервале $[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$. Таким образом, $\arcsin 1$ — это угол, для которого синус равен 1.

Мы знаем, что $\sin \frac{\pi }{2}=1$, следовательно:

$$\arcsin 1=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Что такое $\arcsin (-1)$?

$\arcsin (-1)$ — это угол, для которого $\sin x=-1$. Известно, что $\sin (-\frac{\pi }{2})=-1$, поэтому:

$$\arcsin (-1)=-\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставим значения в выражение

Теперь, когда мы знаем значения $\arcsin 1=\frac{\pi }{2}$ и $\arcsin (-1)=-\frac{\pi }{2}$, подставим их в исходное выражение:

$$\arcsin 1-\arcsin (-1)=\frac{\pi }{2}-(-\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}=\pi \mathrm{.}$$

Ответ:

$$\arcsin 1-\arcsin (-1)=\pi \mathrm{.}$$

2) $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}})=\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}-\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}=0$

Шаг 1: Что такое $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}$?

Функция $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}$ определяет угол $x$, для которого $\sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Известно, что $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, следовательно:

$$\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Что такое $\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}})$?

Аналогично, $\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}})$ — это угол, для которого $\sin x=-\frac{1}{\sqrt{2}}$. Мы знаем, что $\sin (-\frac{\pi }{4})=-\frac{1}{\sqrt{2}}$, следовательно:

$$\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{\pi }{4}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставим значения в выражение

Теперь подставим $\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\pi }{4}$ и $\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}})=-\frac{\pi }{4}$ в исходное выражение:

$$\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}})=\frac{\pi }{4}+(-\frac{\pi }{4})=0.$$

Ответ:

$$\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}+\arcsin (-\frac{1}{\sqrt{2}})=0.$$

3) $\arcsin \frac{1}{2}+\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi +2\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2}$

Шаг 1: Что такое $\arcsin \frac{1}{2}$?

Функция $\arcsin \frac{1}{2}$ определяет угол $x$, для которого $\sin x=\frac{1}{2}$. Известно, что $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$, следовательно:

$$\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Что такое $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$?

Функция $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$ определяет угол $x$, для которого $\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Известно, что $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставим значения в выражение

Теперь подставим $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$ и $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{3}$ в исходное выражение:

$$\arcsin \frac{1}{2}+\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{3}=\frac{\pi +2\pi }{6}=\frac{3\pi }{6}=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\arcsin \frac{1}{2}+\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

4) $\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})+\arcsin (-\frac{1}{2})=-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}-\arcsin \frac{1}{2}=-\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=$

$=\frac{-2\pi -\pi }{6}=\frac{-3\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}$

Шаг 1: Что такое $\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})$?

Функция $\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})$ определяет угол $x$, для которого $\sin x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$. Мы знаем, что $\sin (-\frac{\pi }{3})=-\frac{\sqrt{3}}{2}$, следовательно:

$$\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\pi }{3}\mathrm{.}$$

Шаг 2: Что такое $\arcsin (-\frac{1}{2})$?

Функция $\arcsin (-\frac{1}{2})$ определяет угол $x$, для которого $\sin x=-\frac{1}{2}$. Мы знаем, что $\sin (-\frac{\pi }{6})=-\frac{1}{2}$, следовательно:

$$\arcsin (-\frac{1}{2})=-\frac{\pi }{6}\mathrm{.}$$

Шаг 3: Подставим значения в выражение

Теперь подставим $\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})=-\frac{\pi }{3}$ и $\arcsin (-\frac{1}{2})=-\frac{\pi }{6}$ в исходное выражение:

$$\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})+\arcsin (-\frac{1}{2})=-\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}-\arcsin \frac{1}{2}=-\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}=$$

$$=\frac{-2\pi -\pi }{6}=\frac{-3\pi }{6}=-\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$

Ответ:

$$\arcsin (-\frac{\sqrt{3}}{2})+\arcsin (-\frac{1}{2})=-\frac{\pi }{2}\mathrm{.}$$